Как вычислить более рациональным способом. Рациональные числа, определение, примеры. Определение и примеры рациональных чисел

Кожинова Анастасия

МУНИЦИПАЛЬНОЕ НЕТИПОВОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИЦЕЙ №76»

В ЧЕМ СЕКРЕТ РАЦИОНАЛЬНОГО СЧЕТА?

Выполнила:

Ученица 5 «В» класса

Кожинова Анастасия

Руководитель:

Учитель математики

Щиклина Татьяна

Николаевна

Новокузнецк 2013

Введение………………………………………………………… 3

Основная часть....……………………………………….......... 5-13

Заключение и выводы………………………………............... 13-14

Список литературы……………………………………….................. 15

Приложения……………………………………………………. 16-31

I . Введение

Проблема : нахождение значений числовых выражений

Цель работы: поиск, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.

Задачи:

1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов.

2. Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, в сети Интернет.

3.Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета.

4.Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета.

5. Создать памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.

Объект исследования : рациональный счет.

Предмет исследования : способы рационального счета.

Для эффективности исследовательской работы я использовала следующие методики: анализ информации, полученной из различных ресурсов, синтез, обобщение; соцопрос в форме анкетирования. Анкета была мною разработана в соответствии с целью и задачами исследования, возраста респондентов и представлена в основной части работы.

В ходе исследовательской работы были рассмотрены вопросы, касающиеся способов и приемов рационального счета, и даны рекомендации по устранению проблем с вычислительными навыками, по формированию вычислительной культуры.

II . Основная часть

Формирование вычислительной культуры учащихся

5–6 классов.

Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.

Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.

В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.

Мы, школьники, сталкиваемся с такой проблемой повсеместно: на уроках, в домашних условиях, в магазине и т.п. Кроме этого после 9 и 11 классов нам придется сдавать экзамены в форме ИГА и ЕГЭ, где не допускается использование микрокалькулятора. Поэтому крайне важным становится проблема формирования у каждого человека вычислительной культуры, элементом которой является овладение приемами рационального счета.

Особенно необходимо освоение приемов рационального счета

в изучении таких предметов, как – математика, история, технология, информатика и т. д., то есть рациональный счет помогает осваивать смежные предметы, лучше ориентироваться в изучаемом материале, в жизненных ситуациях. Так чего же мы ждем? Отправляемся в мир тайн Рациональных приемов счета!!!

Какие проблемы возникают у обучающихся при выполнении вычислений?

Часто у сверстников моего возраста возникают проблемы при выполнении различных заданий, в которых надо произвести вычисления быстро и удобным способом. Почему???

Вот некоторые предположения:

1. Учащийся плохо усвоил тему изученную тему

2. Учащийся не повторяет материал

3. Учащийся имеет плохие навыки счета

4. Учащийся не хочет изучать данную тему

5. Учащийся считает, что ему это не пригодится.

Все эти предположения я взяла из своего опыта и опыта моих одноклассников и сверстников. Однако в упражнениях вычислительного характера важную роль играют навыки рационального счета, поэтому я изучила, применяю и хочу представить Вам некоторые приемы рационального счета.

Рациональные методы устных и письменных вычислений.

В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память. Применение рациональных методов вычислений необходимо для повышения труда, точности и быстроты подсчетов. Быстрота и точность вычислений могут быть достигнуты только при рациональном использовании методов и средств механизации вычислений, а также при правильном использовании способов устного счета.

I . Приемы упрощенного сложения чисел

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.

Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

Решение. Расчет произведем в такой последовательности:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Ответ: 8 851. (сочетально-переместительный закон)

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.

Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Ответ: 8851.

Способ круглого числа . Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.

Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.

Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.

Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431. (сочетательный закон)

Способ группировки слагаемых . Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.

Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(сочетательно-переместительный закон)

или, когда при группировке чисел получаются одинаковые суммы:

Пример:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101х50=5050

(сочетательно-переместительный закон)

II . Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.

Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.

Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:

представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398;

выполним поразрядное вычитание:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Способ круглого числа . Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

Пример . Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.

Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III . Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.

Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

Способ последовательного поразрядного умножения . Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале однозначныймножитель умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30+9) х 7 =(30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (распределительный закон умножения относительно сложения)

Способ круглого числа . Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.

Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.

174 x 69 =174 х (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (распределительный закон умножения относительно вычитания)

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.

Пример . Найдем произведение чисел 13 и 325.

Разложим число 13 на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975. Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225

Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми приведенными арифметическими действиями. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность. Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, классы и разряды.

Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.

1. Умножение двузначного числа на 11.

Мы изучали этот метод, но мы не изучили его до конца секрет этого метода в том, что его можно посчитать законами арифметических действий.

Примеры:

23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения)

23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа)

Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.

Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр.

а) 23 11=253, т. к. 2+3=5;

б) 45 11=495, т. к. 4+5=9;

в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен;

г) 78 11=858, т. к. 7+8=15, то число десятков будет равно 5, а цифра сотен увеличится на единицу и будет равна 8.

Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.

2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д.

Правило : цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц.

а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621.

б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.

в) 52 58=3016, т. к. цифру десятков 5 умножаем на 6, будет 30, приписываем произведение 2 и 8, т. е 16.

г) 61 69=4209. Понятно, что 6 умножили на 7 и получили 42. А откуда нуль? Единицы перемножили и получили: 1 9=9, но результат должен быть двузначным, поэтому берем 09.

3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа).

Примеры: а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6; б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9.

в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21.

г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24.

Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.

III . Заключение

Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять, в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого,

искать новые способы это:

- Приемы упрощенного сложения чисел : (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые);

-Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа);

-Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей;

- Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.

IV. Список литературы

1. Савин А. П. Математические миниатюры / А. П.Савин. – М.: Детская литература, 1991

2. Зубарева И.И., Математика,5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Mathematics-repetition. ru

V . Приложения

Мини исследование (опрос в форме анкетирования)

Для выявлений знаний учащихся о рациональном счете, мною был проведен опрос в форме анкетирования по следующим вопросам:

* Знаешь ли ты что такое рациональные приемы счета?

* Если да, то откуда, а если нет, то почему?

* Сколько способов рационального счета ты знаешь?

* Возникают ли у тебя трудности в устном счете?

* Как ты учишься по математике? а) на «5»; б) на «4»; в) на «3»

* Что тебе больше всего нравится по математике?

а) примеры; б) задачи; в) дроби

* Как ты думаешь, где может пригодиться устный счет, кроме математики? *Помнишь ли ты законы арифметических действий, если да то какие?

Проведя соцопрос, я поняла, что мои одноклассники недостаточно знают законы арифметических действий, у большинства из них есть проблемы с рациональным счетом, многие ученики считают медленно и с ошибками и все хотят научиться считать быстро, верно и удобным способом. Поэтому тема моей исследовательской работы крайне важна для всех учащихся и не только.

1. Интересные устные и письменные способы вычислений, которые мы изучили на уроках математики, на примерах учебника «математика, 5 класс»:

Вот некоторые из них:

чтобы быстро умножить число на 5 , достаточно заметить, что 5=10:2.

Например, 43x5=(43х10):2=430:2=215;

48х5=(48:2)х10=24х10=240.

Чтобы число умножить на 50 , можно умножить его на 100 и разделить на 2.

Например: 122х50=(122х100):2=12200:2=6100

Чтобы число умножить на 25 , можно умножить его на 100 и разделить на 4,

Например, 32х25=(32 х 100):4=3200:4=800

Чтобы число умножить на 125 , можно умножить его на 1000 и разделить на 8 ,

Например: 192х125=(192х1000):8=192000:8=24000

Чтобы круглое число, в конце которого два 0, разделить на 25 , можно разделить его на 100 и умножить на 4.

Например: 2400:25=(2400:100) х 4=24 х 4=96

Чтобы круглое число разделить на 50 , можно разделить на 100 и умножить на 2

Например: 4500:50=(4500:100) х 2 =45 х 2 =90

Но не только надо уметь вычислять, но еще и надо знать таблицу умножения, законы арифметических действий, состав числа (классы и разряды) и иметь навыки их применения

Законы арифметических действий.

a + b = b + a

Переместительный закон сложения

(a + b ) + c = a + (b + c )

Сочетательный закон сложения

a · b = b · a

Переместительный закон умножения

(a · b ) · c = a · (b · c )

Сочетательный закон умножения

(a = b ) · c = a · c = b · c

Распределительный закон умножения (относительно сложения)

Таблица умножения.

Что такое умножение?

Это умное сложение.

Ведь умней умножить раз,

Чем слагать все целый час.

Умножения таблица

Всем нам в жизни пригодиться.

И недаром названа

УМНОжением она!

Разряды и классы

Для того чтобы было удобно читать, а так же запоминать числа с большими значениями их следует разбивать на так называемые «классы»: начиная справа, число разделяют пробелом на три цифры «первый класс», затем еще выбирают три цифры, «второй класс» и так далее. В зависимости от значения числа, последний класс может оканчиваться как тремя, так и двумя или одной цифрой.

Например, число 35461298 записывается следующим образом:

Это число разбито на классы:

482 – первый класс (класс единиц)

630 – второй класс (класс тысяч)

35 – третий класс (класс миллионов)

Разряд

Каждая из цифр, входящая в состав класса, называется его разрядом, отсчёт которых также идет справа.

Например, число 35 630 482 можно разложить на классы и разряды:

482 – первый класс

2 – первый разряд (разряд единиц)

8 – второй разряд (разряд десятков)

4 – третий разряд (разряд сотен)

630 – второй класс

0 – первый разряд (разряд единиц тысяч)

3 – второй разряд (разряд десятков тысяч)

6 – третий разряд (разряд сотен тысяч)

35 – третий класс

5 – первый разряд (разряд единиц миллионов)

3 – второй разряд (разряд десятков миллионов)

Число 35 630 482 читается:

Тридцать пять миллионов шестьсот тридцать тысяч четыреста восемьдесят два.

Проблемы с рациональным счетом и как их устранить

Рациональные приемы запоминания.

В результате анкетирования и наблюдений с уроков я заметила, что часть учеников плохо решают различные задачи и упражнения потому, что не знакомы с рациональными приемами вычислений.

1. Один из приемов - приведение изучаемого материала в систему, удобную для запоминания и сохранения в памяти.

2. Чтобы запоминаемый материал хранился памятью в определенной системе, надо провести некоторую работу над его содержанием.

3. Затем можно заняться усвоением каждой отдельной части текста, перечитывая ее и стараясь тут же воспроизводить (повторять про себя или вслух) прочитанное.

4. Огромное значение для запоминания имеет повторение материала. Об этом говорит и народная пословица: «Повторение - мать учения». Но и повторять надо разумно и правильно.

Работу по повторению надо оживлять, привлекая иллюстрации или примеры, которых раньше не было или они уже оказались забыты.

На основе сказанного можно кратко сформулировать следующие рекомендации для успешного усвоения учебного материала:

1. Поставить задачу, быстро и прочно запомнить учебный материал на длительное время.

2. Сосредоточить внимание на том, что надо усвоить.

3. Хорошо понять учебный материал.

4. Составить план запоминаемого текста, выделив в нем основные мысли, разбить текст на части.

5. Если материал большой, последовательно усваивать одну часть за другой, а затем уже излагать все в целом.

6. После прочтения материала надо его воспроизводить (рассказывать прочитанное).

7. Повторять материал, пока он еще не забыт.

8. Распределять повторение на более продолжительное время.

9. Использовать при запоминании разные виды памяти (прежде всего смысловую) и некоторые индивидуальные особенности своей памяти (зрительную, слуховую или двигательную).

10. Трудный материал следует повторять перед сном, а затем утром, «на свежую память».

11. Стараться применять полученные знания на деле. Это лучший способ их сохранения в памяти (недаром говорят: «Настоящая мать учения не повторение, а применение»).

12. Надо больше приобретать знаний, узнавать, что то новое.

Теперь вы узнали как нужно быстро и правильно запоминать изученный материал.

Интересный прием умножениянекоторых чисел на 9в сочетании со сложениемпоследовательных натуральных чисел от 2 до 10

12345х9+6=111111

123456х9+7=1111111

1234567х9+8=11111111

12345678х9+9=111111111

123456789х9+10=1111111111

Интересная игра «Угадай число»

Вы играли в игру «Угадай число»? Это очень простая игра. Скажем, я загадываю натуральное число, меньшее 100, записываю его на бумаге (чтобы не было возможности сжульничать), а вы попытаетесь его отгадать, задавая вопросы, на которые можно лишь отвечать «да» или «нет». Потом вы загадываете число, а я пытаюсь его отгадать. Кто угадает за меньшее число вопросов тот выиграл.

Сколько вопросов вам понадобится, чтобы угадать мое число? Не знаете? Я берусь угадать ваше число, задав всего семь вопросов. Как? А вот, например, как. Пусть вы загадали число. Я спрашиваю: «Оно меньше, чем 64?» - «Да». – «Меньше, чем 32?» - «Да». – «Меньше, чем 16?» - «Да». – «Меньше, чем 8?» - «Нет». – «Меньше, чем 12?» - «Нет». – «Меньше, чем 14?» - «Да». – «Меньше, чем 13?» - «Нет». – «Задумано число 13».

Понятно? Я делю набор возможных чисел пополам, потом оставшуюся половину снова пополам и так далее, пока в оставшейся части не окажется одно число.

Если тебе понравилась игра или наоборот ты хочешь большего, то зайди в библиотеку и возьми книгу «А. П.Савин (Математические миниатюры). В этой книге ты найдешь много интересного и увлекательного. Изображение книги:

Спасибо всем за внимание

И желаю успехов!!!

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

В чем секрет рационального счета?

Цель работы: поиск информации, изучение существующих методов и приемов рационального счета, применение их на практике.

задачи: 1.Провести мини исследование в форме анкетирования среди параллельных классов. 2.Проанализировать по теме исследования: литературу, имеющуюся в школьной библиотеке, информацию в ученом пособии по математике для 5 класса, а также в сети Интернет. 3. Выбрать наиболее эффективные методы и средства рационального счета. 4. Провести классификацию существующих приемов быстрого устного и письменного счета. 5. Создать Памятки, содержащие приемы рационального счета для использования их в параллели 5 классов.

Как я уже сказала тема рационального счета актуальна не только ученикам, но и для каждого человека, чтобы в этом убедиться я провела соцопрос среди учеников 5 класса. Вопросы и ответы анкетирования Вам представлены в приложение.

Что такое рациональный счет? Рациональный счет – это удобный счет (слово рациональный – означает удобный, правильный)

Почему возникают трудности у учеников???

Вот некоторые предположения: Учащийся: 1. плохо усвоил изученную тему; 2. не повторяет материал; 3. имеет плохие навыки счета; 4 . считает, что ему это не пригодится.

Рациональные методы устных и письменных вычислений. В работе и быту постоянно возникает необходимость разного рода вычислений. Использование простейших методов устного счета снижает утомляемость, развивает внимание и память.

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты. I. Приемы упрощенного сложения чисел

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого. Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя этот способ. Решение. Расчет произведем в такой последовательности: 5 287 + 3 000 = 8 287; 8 287 + 500 = 8 787; 8 787 + 60 = 8 847; 8 847 + 4 = 8 851 . Ответ: 8 851.

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д. Рассмотрим этот вариант решения на приведенном примере, получим: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Ответ: 8851.

Способ круглого числа. Число, оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 - 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000 . Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения. Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа. Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом:1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431.

Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой. Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26. Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом:(74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Способ сложения основанный на группировке слагаемых. Пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101х50=5050.

II. Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить. Пример. Найдем разность чисел 721 и 398 . Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности: представим число 398 в виде суммы:300 + 90 + 8 = 398; выполним поразрядное вычитание:721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение. Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа. Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы. Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100. Решение. 568 x 100 = 56 800.

Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7 . Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе. Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69 . Решение. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют. Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325 . Решение. Разложим число на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 = 3 250; 3 x 325 = 975 Суммируем полученные произведения: 3 250 + 975 = 4 225.

Секреты быстрого устного счета. Существуют системы устного счета, позволяющие считать устно быстро и рационально. Мы рассмотрим некоторые, наиболее часто применяющиеся, приемы.

Умножение двузначного числа на 11 .

Примеры: 23х11= 23х(10+1) = 23х10+23х1=253(распределительный закон умножения относительно сложения) 23х11=(20+3)х 11= 20х11+3х11=253 (распределительный закон и способ круглого числа) Мы изучали этот метод, но мы не знали еще один секрет умножения двузначных чисел на 11.

Наблюдая за результатами, полученными при умножении двузначных чисел на 11, я заметила, что можно получить ответ более удобным способом: при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр. Примеры. а) 23 11=253, т. к. 2+3=5; б) 45 11=495, т. к. 4+5=9; в) 57 11=627, т.к. 5+7=12, двойку поставили в серединку, а единицу добавили к разряду сотен; Подтверждение этого способа я нашла в сети Интернет.

2) Произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10, т. е. 23 27; 34 36; 52 58 и т. д. Правило: цифру десятков умножают на следующую в натуральном ряду цифру, записывают результат и приписывают к нему произведение единиц. Примеры. а) 23 27=621. Как получили 621? Цифру 2 умножаем на 3 (за «двойкой» идет «тройка»), будет 6, и рядом припишем произведение единиц: 3 7=21, получается 621 . б) 34 36=1224, т. к. 3 4=12, к числу 12 приписываем 24, это произведение единиц данных чисел: 4 6.

3) Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа). Примеры. а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6 . б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9 . в) 777:37=21, т. к 7+7+7=21 . г) 888:37=24, т. к. 8+8+8=24 . Принимаем во внимание и то, что 888:24=37.

Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми приведенными арифметическими действиями. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность.

Заключение Для разгадки главного секрета в теме моей работы пришлось потрудиться – искать, анализировать информацию, анкетировать одноклассников, повторить ранние известные методы и найти много незнакомых способов рационального счета, и, наконец, понять,в чем его секрет? И я поняла, главное – это знать и уметь применять известные, находить новые рациональные приемы счета, знать таблицу умножения, состав числа (классы и разряды), законы арифметических действий. Кроме этого, искать новые способы это:

Приемы упрощенного сложения чисел: (способ последовательного поразрядного сложения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей на слагаемые); - Приемы упрощенного вычитания чисел (способ последовательного поразрядного вычитания; способ круглого числа); - Приемы упрощенного умножения чисел (умножение на единицу с последующими нулями; способ последовательного поразрядного умножения; способ круглого числа; способ разложения одного из сомножителей; - Секреты быстрого устного счета (умножение двузначного числа на 11:при умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр; произведение двузначных чисел, у которых одинаковое число десятков, а сумма единиц составляет 10; Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Наверное, таких способов существует еще очень много, поэтому я продолжу работать над этой темой в следующем году.

В заключение хочу закончить свое выступление такими словами:

Спасибо всем за внимание, желаю успехов!!!

В далеком прошлом, когда еще не была придумана система исчисления, люди подсчитывали все на пальцах. С появлением арифметики и основ математики стало гораздо проще и практичнее вести учет товаров, продуктов, а также бытовых предметов. Однако как выглядит современная система исчисления: на какие виды делятся существующие числа и что значит "рациональный вид чисел"? Давайте разберемся.

Сколько разновидностей чисел существует в математике?

Само понятие "число" обозначает некую единицу любого предмета, которая характеризует его количественные, сравнительные или порядковые показатели. Для того чтобы правильно подсчитать количество определенных вещей или провести некие математические операции с числами (сложить, умножить и др.), в первую очередь следует ознакомиться с разновидностями этих самых чисел.

Итак, существующие числа можно разделить по следующим категориям:

1. Натуральные - это те числа, которыми мы подсчитываем количество предметов (самое меньшее натуральное число равно 1, логично, что ряд натуральных чисел бесконечен, т. е. не существует наибольшего натурального числа). Множество натуральных чисел принято обозначать буквой N.
2. Целые числа. К этому множеству относятся все при этом в него добавляются и отрицательные значения, включая число "ноль". Обозначение множества целых чисел записывают в виде латинской буквы Z.
3. Рациональные числа - это те, которые мы мысленно можем преобразовать в дробь, числитель которой будет принадлежать множеству целых чисел, а знаменатель - натуральных. Чуть ниже мы разберем подробнее, что значит "рациональное число", и приведем несколько примеров.
4. - множество, в которое входят все рациональные и Обозначается данное множество буквой R.
5. Комплексные числа содержат в себе часть действительного и часть переменного числа. Используются в решении различных кубических уравнений, которые, в свою очередь, могут иметь в формулах под отрицательное выражение (i 2 = -1).

Что значит "рациональный": разбираем на примерах

Если рациональными считаются те числа, которые мы можем представить в виде обыкновенной дроби, то получается, что все положительные и отрицательные целые числа также входят в множество рациональных. Ведь любое целое число, например 3 или 15, можно представить в виде дроби, где в знаменателе будет единица.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 - вот примеры рациональных чисел.

Что значит "рациональное выражение"?

Идем дальше. Мы уже разобрали, что значит рациональный вид чисел. Давайте теперь представим себе математическое выражение, которое состоит из суммы, разности, произведения или частного различных чисел и переменных. Вот пример: дробь, в числителе которой сумма двух или нескольких целых чисел, а знаменатель содержит в себе как целое число, так и некую переменную. Именно такое выражение и называют рациональным. Исходя из правила "на ноль делить нельзя" можно догадаться, что значение данной переменной не может быть таковым, чтобы значение знаменателя обращалось в ноль. Поэтому при решении рационального выражения следует сначала определить область значения переменной. Например, если в знаменателе следующее выражение: x+5-2, то получается, что "x" не может быть равен -3. Ведь в таком случает все выражение превращается в ноль, поэтому при решении необходимо исключить целое число -3 для данной переменной.

Как правильно решать рациональные уравнения?

Рациональные выражения могут содержать в себе довольно-таки большое количество чисел и даже 2 переменные, поэтому порой их решение становится затруднительным. Для облегчения решения такого выражения рекомендуется произвести некие операции рациональным путем. Итак, что значит "рациональным способом" и какие правила необходимо применять при решении?

1. Первый вид, когда достаточно всего лишь упростить выражение. Для этого можно прибегнуть к операции сокращения числителя и знаменателя до несокращаемой величины. Например, если в числителе имеется выражение 18x, а в знаменателе 9х, то, сокращая оба показателя на 9x, получаем просто целое число, равное 2.
2. Второй способ практичен тогда, когда в числителе имеем одночлен, а в знаменателе - многочлен. Разберем на примере: в числителе имеем 5x, а в знаменателе - 5x + 20x 2 . В таком случае лучше всего вынести переменную в знаменателе за скобки, получим следующий вид знаменателя: 5x(1+4x). А теперь можно воспользоваться первым правилом и упростить выражение, сократив 5x в числителе и в знаменателе. В итоге получим дробь вида 1/1+4x.

Какие действия можно выполнять с рациональными числами?

Множество рациональных чисел имеет ряд своих особенностей. Многие из них весьма схожи с характеристикой, присутствующей у целых и натуральных чисел, ввиду того что последние всегда входят в множество рациональных. Вот несколько свойств рациональных чисел, зная которые, можно с легкостью решить любое рациональное выражение.

1. Свойство коммутативности позволяет суммировать два или несколько чисел, вне зависимости от их очередности. Проще говоря, от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
2. Свойство дистрибутивности позволяет решать задачи с помощью распределительного закона.
3. И, наконец, операции сложения и вычитания.

Даже школьники знают, что значит "рациональный вид чисел" и каким образом решать задачи на основе таких выражений, поэтому взрослому образованному человеку просто необходимо вспомнить хотя бы азы множества рациональных чисел.

Характеристика класса

5 “А” класс – неоднородный по составу, часть детей довольно сильные по знаниям, но выделяются и слабые. В общем, класс энергичный, учащиеся с интересом и с готовностью подхватывают начинания учителя.

Тема: Рациональные способы вычисления (урок является итоговым занятием, проводится после темы: “упрощение выражений” во II четверти, ? 3)

Тип урока: обобщение материала

а) образовательные

• повторить свойства сложения, вычитания, умножение натуральных чисел
• закрепит теорию знаний на практике
• показать преимущество рациональных способов выполнения заданий, т. е. показать, что создание данного проекта нужно и значимо для самих детей
• совершенствовать навык применения способов на практике;

б) развивающее

• развивать умение делать выводы, систематизировать материал, сопоставлять способы с конкретным зданием, четко формулировать мысли
• развивать умение проводить рефлексию своей познавательной деятельности
• формировать творческое сознание, подлинную увлеченность делом;

в) воспитательные

• воспитывать самостоятельность, коллективизм, умение слушать друг друга, уважать мнение другого, но и уметь доказывать свое.

Оборудование: магнитная доска и магниты, фломастеры, листья дерева (альбомные листы) , картинки кот Матроскин и Шарик, экран для слайдов.

В Приложении 1 представлена схема проекта.

Нынешний уровень развития средств автоматизации вычислений создал у многих иллюзию о том, что развивать вычислительные навыки совсем не обязательно. Это сказалось на подготовленности школьников. При отсутствии калькулятора, даже несложные задачи вычислительного плана для многих становятся проблемой.

В то же время, экзаменационные задания и материалы по ЕГЭ содержат много задач, решение которых требует от испытуемых умений рациональной организации вычислений.

В этой статье рассмотрим некоторые способы оптимизации вычислений и их применение для задач конкурсного характера.

Наиболее часто способы оптимизации вычислений связаны с применением основных законов выполнения арифметических действий.

Например:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; или

98 · 16(100 – 2) · 16 = 100 · 16 – 2 · 16 = 1600 – 32 = 1568 и т.д.

Другое направление – использование формул сокращённого умножения.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; или

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 · 15 · 100 + 225 = 10525.

Интересным для вычислений является следующий пример.

Вычислить:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Это практически стандартные способы оптимизации вычислений. Иногда предлагаются и более экзотические. В качестве примера рассмотрим способ умножения двухзначных чисел, сумма единиц у которых равна 10.

54 · 26 = 50 · 30 + 4 · (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 или

43 · 87 = 40 · 90 + 3 · (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Схему умножения можно понять из рисунка.

Откуда получается такая схема умножения?

Наши числа по условию имеют вид: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Составим произведение:

M · K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) · 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) и способ обоснован.

Можно привести множество хитроумных способов превращения достаточно сложных вычислений в устные задачи. Но нельзя думать, что всем необходимо запоминать эти и еще кучу других хитроумных способов упрощения вычислений. Важно лишь усвоить некоторые базовые из них. Разбор же других имеет смысл лишь для выработки навыков применения базовых способов. Именно их творческое применение и дает возможность достаточно быстро и правильно решать задачи вычислительного характера.

Иногда при решении примеров на вычисление удобно перейти от преобразования выражения с числами к преобразованию многочленов. Рассмотрим следующий пример.

Вычислить наиболее рациональным способом:

3 1 / 117 · 4 1 / 110 -1 110 / 117 · 5 118 / 119 - 5 / 119

Решение.

Пусть а = 1 / 117 и b = 1 / 119 . Тогда 3 1 / 117 = 3 + а, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 – а, 5 118 / 119 = 6 – b.

Таким образом, заданное выражение можно записать в виде (3 + а) · (4 + b) – (2 – а) · (6 – b) – 5b.

Выполнив несложные преобразования многочлена, получим 10a или 10 / 117 .

Здесь мы получили, что значение нашего выражения не зависит от b. А это означает, что мы вычислили не только значение данного выражения, но и любого другого, полученного из (3 + а) · (4 + b) – (2 – а) · (6 – b) – 5b путем подстановки значений a и b. Если, к примеру, a = 5 / 329, то в ответе получим 50 / 329 , каким бы не было b.

Рассмотрим ещё один пример, решение которого с помощью калькулятора практически невозможно, а ответ довольно прост, если знаешь подход к решению примеров такого типа

Вычислить

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Решение.

Преобразуем условие

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 · (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 +1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · (7 16 – 1) = … =

1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1 / 6 · 7 1024 - 1 / 6 · (7 1024 – 1) = 1 / 6

Рассмотрим один из примеров, ставший уже хрестоматийным в экзаменационных материалах за курс базовой школы.

Вычислить сумму:

1/2 + 1 / (2 · 3) + 1 / (3 · 4) + 1 / (4 · 5) + … + 1 / (120 · 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

То есть решить данную задачу позволил способ замены каждой дроби разностью двух дробей. В сумме оказались пары противоположных чисел всем, кроме первого и последнего.

Но этот пример можно обобщить. Рассмотрим сумму:

k/(n · (n + k)) + k/((n + k) · (n + 2k)) + k/((n + 2k) · (n + 3k)) + … + k/((n + (m – 1)k) · (n + mk))

Для нее справедливы все те же рассуждения, которые проведены в предыдущем примере. В самом деле:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) · (n + 2k)) и т.д.

Тогда ответ построим по той же схеме: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n · (n + mk))

И еще о «длинных» суммах.

Сумму

Х = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

можно вычислить как сумму 11 членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/2 и первым членом 1. Но эту же сумму может вычислить и ученик 5 класса, не имеющий представления о прогрессиях. Для этого достаточно удачно подобрать число, которое добавим до суммы Х. Таким числом здесь окажется 1/1024.

Вычислим

Х + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1/1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Теперь очевидно, что Х = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Второй способ не менее перспективен. С его помощью можно вычислить сумму:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Здесь «удачное» число 11. Добавляя его к S и распределим равномерно между всеми 11 слагаемыми. Каждому из них тогда достанется по 1. Тогда имеем:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Следовательно, S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.