Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебный предмет: математика; 6 класс (учебник «Математика 6» Н.Я.Виленкин и др.)

Тема: Прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Тип урока: изучение нового материала с применением информационных технологий

Цели и задачи:

• Образовательные :
  • закрепить основные понятия: пропорция, основное свойство пропорции;
  • сформировать у учащихся понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости;
  • сформировать умение решать задачи с помощью пропорции;
• Развивающие :
  • логически мыслить при определении зависимости в соответствии с условием задачи;
  • развивать грамотную математическую речь; память, внимание, делать выводы, основанные на рассуждениях;
  • содействовать развитию познавательного интереса, творческих способностей, умению сравнивать, анализировать;
• Воспитательные:
  • прививать интерес к математике;
  • развивать навыки устойчивого внимания.

Методы обучения: коммуникативный, дифференцированный, исследовательско-поисковый.

Формы организации урока: фронтальный опрос, индивидуальная работа, самопроверка.

Оборудование: м/м проектор, экран, компьютер, монитор, презентация.

ХОД УРОКА

1. Организационный этап

Приветствие;

Проверка готовности учащихся к уроку.

– Сегодня мы с вами познакомимся с новыми понятиями: прямая и обратная пропорциональные зависимости, и будем учиться решать задачи, опираясь на новые знания.

2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (слайд 2)

1. Что такое пропорция?
2. Сформулируйте основное свойство пропорции.
3. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям?
4. Составьте три новые верные пропорции из пропорции: 5: 15 = 4: 12
5. Какие перестановки членов этой пропорции снова приводят к верным пропорциям?
6. Составьте три новые верные пропорции из пропорции: (слайд 3)

а) 135: __ = 90: 2
б) 18: 3 = __ : __

– Какое из этих заданий имеет единственное решение, а какое – много решений? Почему?

Постановка перед учащимися учебной проблемы

– А помогут ли нам полученные знания в решении практических задач?

3. Формирование новых знаний

Устное обсуждение (поиск решения) (слайд 4)

1. За 2 кг овощей заплатили 10 рублей. Сколько стоят 8 кг овощей?

• Во сколько раз купили больше овощей?
• Если больше купили, то меньше или больше должны заплатить?

Вывод: если количество товара увеличивается в несколько раз, то и увеличивается стоимость покупки во столько же раз.

В ходе устного осуждения учащиеся определяют, как изменяются зависимые между собой величины в данной задаче.

Определение: две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

2. Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с той же производительностью?

• Если количество тракторов будет больше, то чтобы вспахать то же самое поле потребуется больше или меньше дней?
• Во сколько раз увеличилось количество тракторов? Во сколько раз меньше дней потребуется, чтобы выполнить ту же работу?

В ходе устного осуждения учащиеся определяют, как в этой задаче изменяются зависимые между собой величины.

Определение: две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз

Тестовая работа – проверь себя

Теоретический тест позволяет скорректировать дальнейшую подачу материала (слайды 6; 7; 8)

«Да» и «нет» не говорите, знаком их изобразите: (слайд 5)

«да» – знаком «+» ,
«нет» – знаком «–» .

1. Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки является прямой пропорциональностью.
2. Рост ребенка и его возраст прямо пропорциональны.
3. При постоянной ширине прямоугольника его длина и площадь прямо пропорциональны.
4. Скорость автомобиля и время его движения обратно пропорциональны.
5. Скорость автомобиля и его пройденный путь обратно пропорциональны.
6. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в два раза другая в два раза уменьшается.
7. Грузоподъемность машин и их количество прямо пропорциональны.
8. Периметр квадрата и длина его стороны прямо пропорциональны.

Проверим ответы: взаимопроверка с использованием м/м проектора (слайд 9): + – + + – + – +

Поставь себе оценку: (слайд 10)

8 правильных ответов – «5»
7-6 правильных ответов – «4»
5-4 правильных ответов – «3»

4. Физкультминутка

5. Формирование умений и навыков

Решение задач уровня обязательной подготовки(слайды 11; 12)

6. Этап первичной проверки

Учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам с взаимопроверкой в парах.

1 вариант – № 785;
2 вариант – № 836;

Проверяем решение: 1 вариант – слайд 14; 2 вариант – слайд 16)

7. Подведение итогов урока. Рефлексия

Проверь себя: (слайд 17)

• Какие величины называются прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
• Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
• Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

8. Постановка домашнего задания (слайд 18)

• изучить п.22, № 805; 811; 812;
• составить текст двух задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости (решение на следующем уроке выполнит сосед по парте).

Конспект урока математики учителя математики Трищенковой Н.Г.

Класс: 6

Тема: «Прямая и обратная пропорциональная зависимости»Урок соревнование

Место урока: Данный урок является вторым в теме «Прямая и обратная пропорциональная зависимости»» и опирается на тему «Пропорции».

Цели урока:

Образовательная:

• Обеспечить в ходе урока закрепление следующих основных понятий: пропорция, основное свойство пропорции, прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины.
• Совершенствование навыков решения текстовых задач с помощью пропорции. Закрепление основного свойства пропорции на примерах решения уравнений, имеющих вид пропорции.
• Продолжить формирование учебных умений и навыков: планирование ответа; навыки самоконтроля; устный счет.
• Контроль степени усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

Развивающая:

• Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации.
• Развитие логического мышления, умения выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы.
• Развитие умений сравнивать, правильно формулировать задачи и излагать мысли.
• Развитие самостоятельной деятельности обучающихся.
• Развитие познавательного интереса.

Воспитательная:

• Воспитание здорового образа жизни.
• Формирование научного мировоззрения, интереса к предмету через содержание учебного материала.
• Воспитание умения работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи.
• Воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Продолжительность урока: 45 минут

Тип урока: комбинированный

Структура урока:

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока

2. Актуализация знаний. Устная работа

3. Решение задач с помощью пропорции

4. Физкультминутка

5. Повторение пройденного материала

6. Историческая справка

7. Контрольное тестирование

8. Домашнее задание

9. Подведение итогов урока. Выставление оценок

Целесообразность использования медиапроектора на уроке:

Интенсификация учебно-воспитательного процесса (увеличение количества предлагаемой информации, уменьшение времени подачи материала);

Повышение эффективности усвоения учебного материала.

Преподавание: по учебнику Н.Я. Виленкина "Математика 6".

ХОД УРОКА

Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

Цель: приветствие, проверка готовности к уроку, раскрытие темы и общей цели урока, подготовка обучающихся к работе на уроке и создание благоприятной рабочей атмосферы.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Сейчас у нас урок математики.

Математику, друзья,
Не любить никак нельзя.
Очень точная наука,
Очень строгая наука,
Интересная наука -
Это математика!

Сегодня у нас урок решения задач с помощью пропорции

и впереди у нас много различных заданий:

в начале нашего урока мы по традиции проведем устную работу, в ходе которой, повторим нужный нам сегодня на уроке теоретический материал;

повторим и приведем в систему изученные нами приемы решения задач с помощью пропорции;

повторим умения использовать свойства пропорций при решении некоторых типов уравнений;

совершим небольшую экскурсию по истории пропорции;

пройдете контрольное тестирование, в ходе которого вы покажете свои знания и умения.

А девизом нашего урока я предлагаю взять слова замечательного писателя С. Я. Маршака, автора таких известных детских стихотворений как:

«Детки в клетке», «Сказка о глупом мышонке», «Вот какой рассеянный» и др.

Девиз урока:

« Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у вас,
А сердце умным будет ».

Актуализация знаний. Устная работа.

Цель: подготовка обучающихся к доминирующему виду учебно-познавательной активности.

Учитель: Перед тем, как мы приступим к решению задач, обратимся к устной работе, которая состоит из трех заданий.

Но для того, чтобы успешно справиться с заданием 1 надо ответить на следующие на вопросы:

Что называется пропорцией? Ответы обучающихся.

Сформулируйте основное свойство пропорции. Ответы обучающихся.

Учитель: Приступаем к заданию 1

Задание 1. Назовите крайние и средние члены пропорции:

Ответ: Крайние члены 5 и 12, средние члены 10 и 6

Ответ: Крайние члены 20 и 7, средние члены 4 и 35

Учитель: Вы, молодцы!Для того чтобы приступить ко второму заданию, нам нужно вспомнить ответы на такие вопросы, как:

1.Какая пропорция называется верной? Ответы обучающихся.

2.Какие способы помогают определить, верна ли пропорция? Ответы обучающихся.

Учитель: Приступаем к заданию 2

Задание 2. Укажите верную пропорцию:

а) 2: 3 = 5: 10 Ответ: не верна

б) 5: 10 = 8: 4 Ответ: не верна

в) 2: 3 = 10: 15 Ответ: верна

г) 3: 5 = 10: 12 Ответ: не верна

д) 16: 6 = 8: 3 Ответ: верна

Учитель: Вы, снова были на высоте!Осталось последнее задание.

В нашем порту три корабля« Победа», « Мечта» и «Слава» и три пирса: А, В, С. Необходимо каждый корабль поставить на свой пирс, а для этого из данных отношений составить верные пропорции

Задание 3. Найти пирс для корабля

Пирсы:

Корабли:

« Победа» 105: 21

« Мечта» 2: 0,5

«Слава» 6: 0,2

Ответы обучающихся:

90: 3 = 6: 0,2 (А « Слава») ;

64: 16= 2: 0,5 (В « Мечта»);

0,15: 0,03 = 105: 21 (С « Победа»)

Решение задач с помощью пропорции.

Цель: систематизировать изученные приемы решения задач с помощью пропорции

Подготовительная работа

Учитель: Ребята, сегодня на уроке мы продолжаем решать задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости. А для того, чтобы справиться с задачами, давайте вспомним:

Какие величины называются прямо пропорциональными?

Какие величины называют обратно пропорциональными?

Приведите примеры прямо и обратно пропорциональных величин.

Каким способом можно решать задачи на прямую и обратную пропорциональность?

Что необходимо сделать, чтобы решить задачу с помощью пропорции?

Учитель: Давайте вспомним алгоритм решения задач на пропорцию.

Ответы обучающихся:

2. Неизвестное число обозначить буквой Х.

3. Условие задачи записать в виде таблицы.

4. Определить вид зависимости.

5. Поставить стрелки, соответствующие виду пропорции.

6. Записать пропорцию.

7. Найти неизвестный член пропорции.

Фронтальная коллективная работа

Учитель: Ребята, откройте свои тетради. Сейчас мы вами приступим к решению задач.

А о чем будет наша первая задача, мы узнаем с вами, отгадав загадку.

Под кустами,
Под листами
Мы попрятались в траву,
Нас в лесу ищите сами,
Мы не крикнем вам: «Ау!»

Ответ: Грибы

Задача №1

Бельчонок из 30 кг свежих грибов получил 9 кг сушеных.

Сколько надо собрать ему в лесу свежих грибов, чтобы получить 15 кг сушеных? (Ответ: 50 кг)

Учитель: Ребята, а скажите мне какие съедобные и несъедобные грибы вы знаете? Ответы обучающихся.

Учитель: Приступаем ко второй задаче.

Задача №2

3 дворника могут подмести площадь за 7 часов.

За сколько времени подметут эту же площадь дворники, если им на помощь придут ещё 4 дворника? (Ответ: 3 часа)

Примечание: В ходе решения задач учитель задает вопросы:

Расскажите задачу по краткой записи.

Что известно в задаче?

Что надо узнать?

Определите какая зависимость между … ?

Объясните, почему?

Как обозначается на чертеже данная … зависимость?

Какой член пропорции неизвестен?

Как найти неизвестный … член пропорции?

Работа в парах

Учитель: Ребята, а сейчас я предлагаю вам работу над задачами в парах. Пары формируются в соответствии с тем, как вы сидите за партами на уроке.

Сейчас, я раздам каждой паре карточку, где будет изображен гном или фея. В соответствии с тем, что изображено у вас на карточке, вы решаете задачу, в которой главным героем является ваш персонаж.

После того, как вы решите задачи мы с вами проверим правильность ваших решений.

Примечание: карточки раздаются с учетом дифференцированного подхода, так как задачи на обратную пропорциональность вызывают трудность.

Задача про гномов (Задача на прямую пропорциональность)

4 гнома посадили для Белоснежки 8 кустов роз.

Сколько кустов роз посадят за то же время 3 гнома? (Ответ: 6 кустов)

Задача про фей (Задача на обратную пропорциональность)

3 феи соберут мед с цветов за 4 часа.

За сколько часов выполнят эту работу 2 феи? (Ответ: за 6 часов)

Примечание: Обучающиеся работают над задачами. Проводится проверка выполненной работы через демонстрацию слайдов на экране.

Физкультминутка

Цель: снять утомление у обучающихся, обеспечить активный отдых и повысить умственную работоспособность.

Учитель: Ребята, вы молодцы! Вы все отлично поработали, и пришла пора отдохнуть и провести физкультминутку.

Мы топаем ногами,
Мы хлопаем руками,
Киваем головой.
Мы руки поднимаем,
Мы руки опускаем,
И вновь писать начнем.

Повторение пройденного материала.

Уравнения.

Цель: закрепить навыки решения уравнений, записанных в виде пропорции.

Учитель: На предыдущих уроках мы с вами говорили о том, что с помощью пропорции можно решать не только задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости, но и уравнения.

Подготовили это задание нам с вами гномы из сказки про Белоснежку. Кто-то из вас сегодня уже помогал им сажать розы, а сейчас давайте все вместе и дружно поможем им с решениями уравнений.

Давайте вспомним, как решаются уравнения данного типа.

Примечание: К доске по - очереди вызываются двое обучающихся, которые работают над решением уравнений. Остальные обучающиеся работают в тетрадях.

В ходе выполнения заданий учитель проводит беседу по вопросам:

Какой член пропорции неизвестен? Ответы обучающихся.

Как найти неизвестный крайний член пропорции? Ответы обучающихся.

Как проверить верно ли вы решили уравнение? Ответы обучающихся.

Уравнение 1.

(Ответ: х = 6)

Уравнение 2.

(Ответ: у =28)

V. Историческая справка.

Цель: углубление и расширение знаний о пропорции.

Учитель: Мир пропорции огромен и разнообразен.

Пропорции начали изучать еще в древности.

Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон (древнеримский политик и философ) в I веке до н.э.

В 4 веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции.

Очень интересна история записи пропорции.

В 1631 году Вильям Оутред (английский математик. Известен как изобретатель логарифмической линейки) предложил следующую запись пропорции а ● b:: с ● d

Рене Декарт (французский математик, философ, физик и физиолог. Декарт впервые ввел координатную систему.) в 17 веке записывал пропорцию так:

7 | 12 | 84 | 144 .

В 1693 году Г. В. Лейбниц (немецкий философ, логик, математик,

физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед) предложил современную запись пропорции а: b = с: d.

Портрет Луки Пачоли,

предп. Якопо де Барбари, 1495

Пачоли родился около 1445 в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро на границе Тосканы и Умбрии.

Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти, который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу Антонио де Ромпиази в качестве домашнего учителя. В 1494 году Пачоли публикует на итальянском языке математический труд под названием «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita), посвящённый герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро. В этом сочинении излагаются правила и приемы арифметических действий над целыми и дробными числами, пропорции, задачи на сложные проценты, решение линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных уравнений. Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке.

Домашняя работа.

Цель: дать домашнее задание, которое дало бы возможность обучающимся реализовать себя творчески, применить полученные знания в новой ситуации.

Учитель: А домашнее задание у вас будет необычным, творческим. Необходимо придумать интересную текстовую задачу, которая решается с помощью пропорции и красочно её оформить на альбомном листе.

VIII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Цель: оценить работу обучающихся на уроке.

Учитель: Ребята, давайте подведем итоги нашего урока. Ответьте, пожалуйста, на вопросы:

Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке, что повторили? Ответы обучающихся.

Чем интересен или не интересен был урок? Ответы обучающихся.

Ребята, спасибо Вам, за работу на уроке! Вы все молодцы!

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50 . Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

Математически это выглядит так:

4: 2 = 50: 25 или так: 2: 4 = 25: 50

Прямо пропорциональными величинами тут являются время работы станка и число изготовленных деталей.

Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

Обратная пропорциональность

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами. Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины (времени в нашем примере). (В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени .

Примеры задач

Задача 1:

Решение:

Запишем краткое условие задачи:

Задача 2:

Решение:

Краткая запись: