Сечение конуса плоскостью проходящей через. Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения. Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Сечение конуса плоскостью

Учитывая зависимость отположения секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.

В случае если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых – образующих (треугольник). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность. В случае если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через ее вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс (секущая плоскость пересекает всœе образующие конуса); парабола (секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса) или гипербола (в данном случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса) исходя из угла наклона секущей плоскости (рис.39).

Рис. 39

Известно, что точка принадлежит поверхности, в случае если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности. Для конуса графически наиболее простыми линиями являются образующие и окружности. Следовательно, в случае если по условию задачи требуется найти горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, то нужно через точки провести одну из этих линий.

На рисунке 40 дан пример построения проекций линии сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью, когда в сечении получается эллипс.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Для этого можно поделить основание конуса на равное число частей (обычно 12), провести горизонтальные проекции образующих s1,s2,.... s12 и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих с фронтальным следом секущей плоскости Q. Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих. Профильная проекция линии сечения конуса плоскость Q построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

В зависимости от расположения секцией плос­кости Р относительно оси прямого кругового кону­са получаются различные фигуры сечения, огра­ниченные кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 182. Основание конуса расположено на плос­кости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Фронтальная проекция фигуры сечения распо­ложена на фронтальном следе плоскости Р (рис. 182, а).

Для построения горизонтальной проекции кон­тура фигуры сечения горизонтальную проекцию основания конуса (окружности) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях прово­дят вспомогательные образующие. Сначала нахо­дят фронтальные проекции точек сечения 1′ ...12", лежащих на плоскости P 1 . Затем с по­мощью линии связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей s2, прое­цируется на горизонтальную проекцию этой же образующей в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действи­тельный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекций. Плоскость Я заменяется новой плоскостью проек­ции Н 1 .

На фронтальной плоскости проекции V фигура сечения – эллипс изображается в виде прямой 1"7", совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта прямая 1′7" является большой осью эллипса. Малая ось эллипса а"b" перпендикулярна к большой оси 1′ 7" и проходит

через ее середину. Чтобы найти малую ось сече­ния, через середину большой оси 1′7" эллипса проводят горизонтальную плоскость N, которая рассечет конус по окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса (a 0 b 0).

Построение развертки поверхности конуса (рис. 182, б) начинают с проведения дуги окруж­ности радиусом, равным длине образующей кону­са из точки S 0 . Длина дуги определяется углом α:

где d – диаметр окружности основания конуса; l – длина образующей конуса.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s 0 . От вершины откладыва­ют действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят,

как и в примере с пирамидой, способом в около вертикальной оси, проводящей через шину конуса. Так, например, чтобы получитьдействительную длину отрезка S2, надо из 2′ провести горизонтальную прямую до пересечения в точке b" с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Построение изометрической проекции усеченного конуса (рис. 182, в) начинают с по" основания – эллипса. Изометрическую проекцию любой точки кривой сечения находят с п. трех координат, как показано на рис. 182, в.

На оси х откладывают точки I...VII, взятые с горизонтальной проекции конуса. Из полученных точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты z, взятые с фронтальной проекции. Через полученные на наклонной оси

эллипса точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрезки 6 0 8 0 и 4 0 10 0 , взятые на действительном виде сечения.

Найденные точки соединяют по лекалу. Край­ние очерковые образующие проводят по каса­тельной к контуру основания конуса и эллипса.

Пример сечения прямого кругового конуса при­веден на рис. 182, г. Колпак сепаратора представ­ляет собой сварную конструкцию из тонкой лис­товой стали и состоит из двух конусов.

Источник задания: Решение 4849. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 14. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение.

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение – прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки AS=SB=13 и по теореме Пифагора имеем:

.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет AN=AB:2, и ON равна:

.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN – это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN – это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN – это тоже радиус и (см. рисунок).

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади

,

где - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е.

Задание.

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Решение:

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

Так как сечение проходит через взаимно перпендикулярные образующие, то искомое сечение есть прямоугольный треугольник ∆АВС. Угол ∠АСВ = 90°, АС и ВС – катеты, АВ – гипотенуза.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный от точки до данной плоскости.

Треугольник ∆АВС – равнобедренный, так как АС = ВС (образующие конуса). Тогда СМ – медиана и высота треугольника ∆АВС. Треугольник ∆АОВ – равнобедренный, так как АО = ОВ = R осн. Тогда ОМ – медиана и высота треугольника ∆АОВ.

Прямая СО перпендикулярна плоскости основания, СМ – наклонная к плоскости основания, МО – проекция наклонной МО на плоскость основания. Точка М – основание наклонной, через точку М проходит прямая АВ перпендикулярно проекции МО, тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ.

Прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым СМ и МО, лежащим в плоскости СМО, следовательно, АВ перпендикулярна плоскости СМО. АВ лежит в плоскости АВС, значит, плоскости СМО и АВС перпендикулярны. Следовательно, расстоянием от центра О основания окружности до плоскости сечения АВС будет являться перпендикуляр ОК (высота треугольника ∆МОС).

Из прямоугольного треугольника ∆АСО найдем АС:

АС 2 = АО 2 + ОС 2

АС 2 = 12 2 + 5 2 = 169

Из прямоугольного треугольника ∆АВС найдем АВ:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

АВ 2 = 13 2 + 13 2 = 338

МВ = 1/2·АВ

МВ = (13√2)/2

Из прямоугольного треугольника ∆МВО найдем ОМ:

ОМ 2 = ОВ 2 – МВ 2

Из прямоугольного треугольника ∆МВС найдем МС:

МС 2 = ВС 2 – ВМ 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆МОС, площадь этого треугольника можно найти по формуле:

Конус. Осевое сечение конуса. Сечения конуса плоскостями. Усеченный конус. Вписанные и описанные пирамиды и конусы

Конус — это тело, состоящее из круга, точки, не лежащей на плоскости круга, и отрезков, соединяющих эту точку с точками круга.

Основой конуса является круг, вершиной конуса является точка, не лежит в площади круга, образующими конуса являются отрезки, соединяющие вершину конуса с точками круга основы.

Прямым является конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания, перпендикулярна к плоскости основания. Высотой конуса есть перпендикуляр, опущенный из вершины на площадь основания.

Осью прямого конуса прямая, содержащая его высоту.

Плоскость, параллельная основе прямого конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то его сечение — это равнобедренный треугольник, основание которого равен диаметру основания конуса, а боковые стороны являются образующими конуса. Такой сечение называется осевым.

Конус, осевой сечение которого является равносторонним треугольником , называется равносторонним конусом. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса под углом к плоскости основания, то его сечение — это равнобедренный треугольник, основание которого является хордой основания конуса, а боковые стороны — образующими конуса.

Если секущая плоскость проходит параллельно основанию конуса, то сечение является круг с центром на оси конуса. Такая секущая плоскость рассекает конус на две части — конус и усеченный конус. Круги, лежащие в параллельных плоскостях этого конуса, — его основания; отрезок, соединяющий их центры, — это высота усеченного конуса.

Пирамидой, вписанной в конус , называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в круг основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, является образующими конуса.

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основанием которой является многоугольник, описанный вокруг основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями к конусу.

Это интересно . Если в геометрии для изображения фигур используют параллельное проектирование, то в живописи, архитектуре, фотографии используют центральное проектирования.

Например, в пространстве зафиксировано некоторую точку О (центр проектирования) и плоскость α, не проходящей через эту точку. Через точку пространства и центр проектирования проведена прямая, которая пересекает заданную плоскость в точке, которую называют центральной проекцией точки на плоскость. Центральное проектирование не сохраняет параллельность. Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью центрального проектирования называется перспективой. Теорией перспективы занимались художники Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер.