Курс лекций по теоретической механике для техникумов. Курс лекций техническая механика. Разделы классической механики

Лекции по теоретической механике

Динамика точки

Лекция 1

Основные понятия динамики

В разделе Динамика изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Поэтому, кроме тех понятий, которые вводились в разделе Кинематика, здесь необходимо использовать новые понятия, отражающие специфику воздействия сил на различные тела и реакцию тел на эти воздействия. Рассмотрим основные из этих понятий.

а) сила

Сила есть количественный результат воздействия на данное тело со стороны других тел. Сила является векторной величиной (рис.1).

Точка А начала вектора силы F называется точкой приложения силы . Прямая MN на которой находится вектор силы называется линией действия силы. Длинавектора силы, измеренная в определённом масштабе, называется численным значением или модулем вектора силы . Модуль силы обозначается, как или . Действие силы на тело проявляется либо в его деформации, если тело неподвижно, либо в сообщении ему ускорения при движении тела. На этих проявлениях силы основано устройство различных приборов (силомеров или динамометров) для измерения сил.

б) система сил

Рассматриваемая совокупность сил образует систему сил. Любая система, состоящая из n сил, может быть записана в следующем виде:

в) свободное тело

Тело, которое может перемещаться в пространстве в любом направлении, не испытывая непосредственного (механического) взаимодействия с другими телами, называется свободным или изолированным . Воздействие той или иной системы сил на тело может быть выяснено только в том случае, если это тело свободное .

г) равнодействующая сила

Если какая - либо сила оказывает на свободное тело такое же воздействие, как и некоторая система сил, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил . Это записывается следующим образом:

,

что означает эквивалентность воздействия на одно и то же свободное тело равнодействующей и некоторой системы n сил.

Перейдём теперь к рассмотрению более сложных понятий, связанных с количественным определением вращательных воздействий сил.

д) момент силы относительно точки (центра)

Если тело под действием силы может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной точки О (рис.2), то для количественной оценки этого вращательного воздействия вводится физическая величина, которая называется моментом силы относительно точки (центра).

Плоскость, проходящая через данную неподвижную точку и линию действия силы, называется плоскостью действия силы . На рис.2 это плоскость ОАВ.

Моментом силы относительно точки (центра) называется векторная величина равная векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

( 1)

Согласно правилу векторного умножения двух векторов их векторное произведение есть вектор перпендикулярный плоскости расположения векторов сомножителей (в данном случае плоскости треугольника ОАВ), направленный в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого вектора сомножителя ко второму вектору сомножителю виден против стрелки часов (рис.2). При таком порядке векторов сомножителей векторного произведения (1), поворот тела под действием силы будет виден против стрелки часов (рис.2)Так как вектор перпендикулярен плоскости действия силы, то его расположение в пространстве определяет положение плоскости действия силы.Численное значение вектора момента силы относительно центра равно удвоенной площади ОАВ и может быть определено по формуле:

, (2)

где величина h , равная кратчайшему расстоянию от данной точки О до линии действия силы, называется плечом силы .

Если положение плоскости действия силы в пространстве не существенно для характеристики вращательного воздействия силы, то в этом случае, для характеристики вращательного воздействия силы, вместо вектора момента силы используется алгебраический момент силы :

(3)

Алгебраический момент силы относительно данного центра равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на её плечо. При этом положительный момент соответствует повороту тела под действием данной силы против стрелки часов, а отрицательный момент  повороту тела по стрелке часов. Из формул (1), (2) и (3) следует, что момент силы относительно точки равен нулю только в том случае, когда плечо этой силы h равно нулю . Такая сила не может вращать тело вокруг данной точки.

е) Момент силы относительно оси

Если тело под действием силы может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной оси (например, поворот двери или оконной рамы в петлях при их открытии или закрытии), то для количественного определения этого вращательного воздействия вводится физическая величина, которая называется моментом силы относительно данной оси .

z

 b F xy

На рис.3 представлена схема, в соответствие с которой определяется момент силы относительно оси z:

Угол  образован двумя перпендикулярными направлениями z и к плоскостям треугольников Oab и ОАВ соответственно. Так как  Oab является проекцией ОАВ на плоскость xy , то по теореме стереометрии о проекции плоской фигуры на данную плоскость имеем:

где знак плюс соответствует положительному значению cos, т. е. острым углам , а знак минус соответствует отрицательному значению cos, т. е. тупым углам , что обусловлено направлением вектора . В свою очередь SOab =1/2abh , где h  ab . Величина отрезка ab равна проекции силы на плоскость xy, т.е. ab = F xy .

На основании вышеизложенного, а так же равенств (4) и (5), определим момент силы относительно оси z следующим образом:

Равенство (6) позволяет сформулировать следующее определение момента силы относительно любой оси: Момент силы относительно данной оси равен проекции на эту ось вектора момента этой силы относительно любой точки данной оси и определяется как взятое со знаком плюс или минус произведение проекции силы на плоскость перпендикулярную данной оси на плечо этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью проекции. При этом знак момента считается положительным, если, глядя с положительного направления оси, поворот тела вокруг этой оси виден против стрелки часов. В противном случае момент силы относительно оси берётся отрицательным. Поскольку данное определение момента силы относительно оси довольно сложно для запоминания, то рекомендуется запомнить формулу (6) и рис.3, поясняющий эту формулу.

Из формулы (6) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если она параллельна оси (в этом случае её проекция на плоскость перпендикулярную оси равна нулю), или линия действия силы пересекает ось (тогда плечо проекции h =0). Это полностью соответствует физическому смыслу момента силы относительно оси как количественной характеристики вращательного воздействия силы на тело, имеющее ось вращения.

ж) масса тела

Уже давно было замечено, что под действием силы тело набирает скорость постепенно и продолжает движение, если силу убрать. Это свойство тел, сопротивляться изменению своего движения, было названо инерцией или инертностью тел. Количественной мерой инертности тела является его масса. Кроме того, масса тела является количественной мерой воздействия на данное тело гравитационных сил  чем больше масса тела, тем большая гравитационная сила действует на тело. Какбудет показано ниже, э ти два определения массы тела связаны между собой.

Остальные понятия и определения динамики будут рассмотрены позднее в тех разделах, где они впервые встретятся.

2. Связи и реакции связей

Ранее в разделе 1 пункт (в) было дано понятие свободного тела, как тела, которое может перемещаться в пространстве в любую сторону, не находясь в непосредственном контакте с другими телами. Большинство реальных тел, окружающих нас, находятся в непосредственном контакте с другими телами и не могут перемещаться в тех или иных направлениях. Так, например, тела, находящиеся на поверхности стола, могут перемещаться в любую сторону, кроме направления, перпендикулярного поверхности стола вниз. Двери, закреплённые на петлях, могут совершать вращательное движение, но не могут двигаться поступательно и т. д. Тела, которые не могут двигаться в пространстве в тех или иных направлениях называются несвободными.

Всё, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связями. Это могут быть какие-либо другие тела, препятствующие перемещению данного тела в некоторых направлениях (физические связи ); в более широком плане, это могут быть некоторые условия, налагаемые на движение тела, ограничивающие это движение. Так, можно поставить условие, чтобы движение материальной точки происходило по заданной кривой. В этом случае связь задаётся математически в виде уравнения (уравнение связи ). Более подробно вопрос о типах связей будет рассмотрен ниже.

Большинство связей, налагаемых на тела, практически, относятся к физическим связям. Поэтому встаёт вопрос о взаимодействии данного тела и связи, наложенной на это тело. На этот вопрос отвечает аксиома о взаимодействии тел: Два тела действуют друг на друга с силами равными по модулю, противоположными по направлению и расположенными на одной прямой. Эти силы называются силами взаимодействия. Силы взаимодействия приложены к разным взаимодействующим телам. Так, например, при взаимодействии данного тела и связи одна из сил взаимодействия приложена со стороны тела к связи, а другая сила взаимодействия приложена со стороны связи к данному телу. Эта последняя сила называется силой реакции связи или, просто, реакцией связи.

При решении практических задач динамики необходимо уметь находить направление реакций различных типов связей. В этом иногда может помочь общее правило определения направления реакции связи: Реакция связи всегда направлена противоположно тому направлению, в котором эта связь препятствует перемещению данного тела. Если это направление можно указать определённо, то и реакция связи будет определена по направлению. В противном случае направление реакции связи неопределённо и может быть найдено только из соответствующих уравнений движения или равновесия тела. Более подробно вопрос о типах связей и направлении их реакций следует изучить по учебнику: С.М. Тарг Краткий курс теоретической механики "Высшая школа", М., 1986г. Гл.1, §3.

В разделе 1 пункт (в) было сказано о том, что полностью определить воздействие какой-либо системы сил можно только в том случае, если эта система сил приложена к свободному телу. Так как большинство тел, реально, являются несвободными, то, чтобы изучить движение этих тел, встаёт вопрос о том, как эти тела сделать свободными. На этот вопрос отвечает аксиома связей лекций по философии на дому. Лекции были... социальной психологии и этнопсихологии. 3. Теоретические итоги В социальном дарвинизме были...

В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга . Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета - жестко связанные между собой тело отсчета, система координат и часов. Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей. Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка ”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала.

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам , которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

государственное автономное учреждение

Калининградской области

профессиональная образовательная организация

Колледж сервиса и туризма

Курс лекций с примерами практических заданий

«Основы теоретической механики»

по дисциплине Техническая механика

для студентов 3 курса

специальности 20.02.04 Пожарная безопасность

Калининград

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР ГАУ КО ПОО КСТН.Н. Мясникова

ОДОБРЕНО

Методическим советом ГАУ КО ПОО КСТ

РАССМОТРЕНО

На заседании ПЦК

Редакционная коллегия:

Колганова А.А., методист

Фалалеева А.Б., преподаватель русского языка и литературы

Цветаева Л.В.., председатель ПЦК общематематических и естественнонаучных дисциплин

Составитель:

Незванова И.В. преподаватель ГАУ КО ПОО КСТ

Содержание

1. Теоретические сведения

1. Теоретические сведения

1. Примеры решения практических задач

Динамика: основные понятия и аксиомы

1. Теоретические сведения

1. Примеры решения практических задач

Список литературы

Статика: основные понятия и аксиомы.

1. Теоретические сведения

Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривают свойства сил, приложенных к точкам твердого тела, и условия их равновесия. Основные задачи:

1. Преобразования систем сил в эквивалентные системы сил.

2. Определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Материальной точкой называют простейшую модель материального тела

любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Механической системой называется любая совокупность материальных точек. Абсолютно твёрдым телом называют механическую систему, расстояния, между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях.

Сила – это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Сила – величина векторная, так как она определяется тремя элементами:

численным значением;

направлением;

точкой приложения (А).

Единица измерения силы – Ньютон(Н).

Рисунок 1.1

Система сил – это совокупность сил, действующих на какое – либо тело.

Уравновешенной (равной нулю) системой сил называется, такая система, которая будучи, приложенной к телу, не изменяет его состояния.

Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной равнодействующей, действующей так, как система сил.

Аксиомы статики.

Аксиома 1: Если к телу приложена уравновешенная система сил, то оно движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя (закон инерции).

Аксиома 2: Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Рисунок 1.2

Аксиома 3: Механическое состояние тела не нарушится, если к действующей на него системе сил добавить или от неё отнять уравновешенную систему сил.

Аксиома 4: Равнодействующая двух приложенных к телу сил равна их геометрической сумме, то есть выражается по модулю и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Рисунок 1.3.

Аксиома 5: Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Рисунок 1.4.

Виды связей и их реакции

Связями называются любые ограничения, препятствующие перемещению тела в пространстве. Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь . По закону о равенстве действия и противодействия, связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным перемещениям, называется силой реакции (реакцией) связи .
Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей : всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями связей.

Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Основные виды связей и их реакции приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Виды связей и их реакции

Наименование связи

Условное обозначение

1

Гладкая поверхность (опора) – поверхность (опора), трением о которую данного тела можно пренебречь.
При свободном опирании реакция направляется перпендикулярно касательной, проведенной через точку А контакта тела 1 с опорной поверхностью 2 .

2

Нить (гибкая, нерастяжимая). Связь, осуществлённая в виде нерастяжимой нити, не позволяет телу удаляться от точки подвеса. Поэтому реакция нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.

3

Невесомый стержень – стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой нагрузкой можно пренебречь.
Реакция невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.

4

Подвижный шарнир, шарнирно-подвижная опора. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности.

7

Жесткая заделка. В плоскости жесткой заделки будут две составляющие реакции , и момент пары сил , который препятствует повороту балки 1 относительно точки А .
Жесткая заделка в пространстве отнимает у тела 1 все шесть степеней свободы – три перемещения вдоль осей координат и три поворота относительно этих осей.
В пространственной жесткой заделке будут три составляющие , , и три момента пар сил .

Система сходящихся сил

Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Две силы, сходящиеся в одной точке, согласно третьей аксиоме статики можно заменить одной силой – равнодействующей .
Главный вектор системы сил – величина, равная геометрической сумме сил системы.

Равнодействующую плоской системы сходящихся сил можно определить графически и аналитически .

Сложение системы сил . Сложение плоской системы сходящихся сил осуществляется либо путём последовательного сложения сил с построением промежуточной равнодействующей (рис. 1.5), либо путём построения силового многоугольника (рис. 1.6).

Рисунок 1.5Рисунок 1.6

Проекция силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.
Проекция F x (рис.1.7) силы на ось х положительна, если угол α острый, отрицательна - если угол α тупой. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рисунок 1.7

Проекция силы на плоскость Оху – вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху (рис.1.8).

Рисунок 1.8

Тогда модуль проекции на плоскость Оху будет равен:

F xy = F cosα,

где α - угол между направлением силы и ее проекцией .
Аналитический способ задания сил . Для аналитического способа задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Охуz , по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.
Вектор, изображающий силу , можно построить, если известны модуль этой силы и углы α, β, γ, которые сила образует с координатными осями. Точка А приложения силы задается отдельно своими координатами х , у , z . Можно задавать силу ее проекциями Fx , Fy , Fz на координатные оси. Модуль силы в этом случае определится по формуле:

а направляющие косинусы:

, .

Аналитический способ сложения сил : проекция вектора суммы на какую нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т.е., если:

то , , .
Зная Rx, Ry, Rz , можем определить модуль

и направляющие косинусы:

, , .

Рисунок 1.9

был замкнут (конец вектора последней слагаемой

силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы). Тогда главный вектор системы сил будет равен нулю ()
2) Аналитические условия равновесия . Модуль главного вектора системы сил определяется по формуле . =0. Поскольку , то подкоренное выражение может быть равно нулю только в том случае, если каждое слагаемое одновременно обращается в нуль, т.е.

Rx = 0, Ry = 0, R z = 0.

Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координат осей были равны нулю:

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону.

Рисунок 1.9

B A C

R=F 1 +F 2

Сложение двух не равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

Две не равные по величине антипараллельные силы приводятся к одной равнодействующей силе им параллельной и направленной в сторону большей силы. Величина равнодействующей равна разности величин данных сил, а точка ее приложения С, делит расстояние между линиями действия сил внешним образом на части, обратно пропорциональные величинам этих сил, то есть

Пара сил и момент силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки О называется, взятое с соответствующим знаком, произведение величины силы на расстояние h от точки О до линии действия силы . Это произведение берётся со знаком плюс, если сила стремится вращать тело против хода часовой стрелки, и со знаком -, если сила стремится вращать тело по ходу часовой стрелки, то есть . Длина перпендикуляра h называется плечом силы точки О. Эффект действия силы т.е. угловое ускорение тела больше, чем больше величина момента силы.

Рисунок 1.11

Записывается это так: m(F, F")= ± F × h , где произведение берется со знаком плюс, если пара сил стремится вращать тело против хода часовой стрелки и со знаком минус, если пара сил стремится вращать тело по ходу часовой стрелки.

Теорема о сумме моментов сил пары.

Сумма моментов сил пары (F,F") относительно любой точки 0, взятой в плоскости действия пары, не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Теорема об эквивалентных парах. Следствия.

Теорема. Две пары, моменты которых равны между собой, эквивалентны, т.е. (F, F") ~ (P,P")

Следствие 1 . Пару сил можно переносить в любое место плоскости ее действия, а также поворачивать на любой угол и изменять плечо и величину сил пары, сохраняя при этом момент пары.

Следствие 2. Пара сил не имеет равнодействующей и не может быть уравновешена одной силой, лежащей в плоскости пары.

Рисунок 1.12

Сложение и условие равновесия системы пар на плоскости.

1. Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Систему пар, как угодно расположенных в одной плоскости, можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов данных пар.

2. Теорема о равновесии системы пар на плоскости.

Для того, чтобы абсолютно твердое тело находилось в состоянии покоя под действием системы пар, как угодно расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех пар была равна нулю, то есть

Центр тяжести

Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, распределённых по всему объему тела.

Центр тяжести тела – это такая неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия силы тяжести данного тела при любом положении тела в пространстве.

Методы нахождения центра тяжести

1. Метод симметрии:

1.1. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости

1.2. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

1.3 Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения.

2. Метод разбиения: Тело разбивается на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны.

3. Метод отрицательных масс: При определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но массу свободных полостей считать отрицательной.

Координаты центра тяжести плоской фигуры:

Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам. (рисунок 1.13)

Примечание: Центр тяжести симметрии фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты.

1.2. Примеры решения практических задач

Пример 1: Груз подвешен на стержне и находится в равновесии. Определить усилия в стержне. (рисунок 1.2.1)

Решение:

Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз. (5-я аксиома)

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

Усилия направлены вдоль стержней.

Рисунок 1.2.1.

Построение начнём с известной силы, вычертив вектор F в некотором масштабе.

Из конца вектора F проводим линии, параллельные реакциям R 1 и R 2 .

Рисунок 1.2.2

Для более точных расчётов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла – величина постоянная

Для данного случая:

Рисунок 1.2.3

Замечание: Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Пример 2: Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение:

Рисунок 1.2.4

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох.

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена влево.

2. Определяем проекции всех сил на ось Оу:

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Оу.

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена вниз.

3. Определяем модуль равнодействующей по величинам проекций:

4. Определим значение угла равнодействующей с осью Ох:

и значение угла с осью Оу:

Пример 3: Расчитать сумму моментов сил относительно точки О (рисунок 1.2.6).

ОА = АВ = В D=DE=CB=2 м

Рисунок 1.2.6

Решение:

1. Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля на плечо силы.

2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку.

Пример 4: Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке 1.2.7

Решение:

Разбиваем фигуру на три:

1-прямоугольник

А 1 =10*20=200см 2

2-треугольник

А 2 =1/2*10*15=75см 2

3-круг

А 3 =3,14*3 2 =28,3см 2

ЦТ фигуры 1: х 1 =10см, у 1 =5см

ЦТ фигуры 2: х 2 =20+1/3*15=25см, у 2 =1/3*10=3,3см

ЦТ фигуры 3: х 3 =10см, у 3 =5см

Аналогично определяется у с =4,5см

Кинематика: основные понятия.

Основные кинематические параметры

Траектория - линия, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве. Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f ( x )

Пройденный путь. Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S , единицы измерения - метры.

Уравнение движения точки –это уравнение, определяющее положение движущейся точки в зависимости от времени.

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

В случае пространственного движения добавляется и третья координата z = f 3 ( t )

Такой способ задания движения называют координатным .

Скорость движения – это векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории.

Скорость - вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3

Средняя скорость на пути Δ S определяется:

где ΔS - пройденный путь за время Δ t ; Δ t - промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным . В этом случае скорость - величина переменная и зависит от времени v = f ( t )

Скорость в данный момент определяют как

Ускорение точки - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению.

Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку Мг меняется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

Ускорение в данный момент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное (рисунок 2.4)

Нормальное ускорение а n , характеризует изменение скорости по

направлению и определяется как

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Рисунок 2.4

Значение полного ускорения определяется, как:

Анализ видов и кинематических параметров движений

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью:

Для прямолинейного равномерного движения:

Для криволинейного равномерного движения:

Закон равномерного движения :

Равнопеременное движение – это движение с постоянным касательным ускорением:

Для прямолинейного равнопеременного движения

Для криволинейного равнопеременного движения:

Закон равнопеременного движения:

Кинематические графики

Кинематические графики – это графики изменения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рисунок 2.5)

Рисунок 2.5

Равнопеременное движение (рисунок 2.6)

Рисунок 2.6

Простейшие движения твёрдого тела

Поступательным движением называют движение твёрдого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остаётся параллельной своему начальному положению (рисунок 2.7)

Рисунок 2.7

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы.

При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси.

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называют осью вращения.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры. (рисунок 2.8)

φ – угол поворота тела;

ω – угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени;

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением:

2.2. Примеры решения практических задач

Пример 1: Дано уравнение движения точки. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые три секунды.

Решение:

1. Уравнение скорости

2. Скорость в конце третьей секунды (t =3 c )

3. Средняя скорость

Пример 2: По заданному закону движения определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

Решение:

1. Вид движения: равнопеременное ()
2. При сравнении уравнений очевидно, что

- начальный путь, пройденный до начала отсчёта 10м;

- начальная скорость 20м/с

- постоянное касательное ускорение

- ускорение отрицательное, следовательно, движение замедленное, ускорение направлено в сторону противоположную скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю.

3.Динамика: основные понятия и аксиомы

Динамика – раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между движение тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

определяют параметры движения по заданным силам;

определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам движения.

Под материальной точкой подразумевают некое тело, имеющее определенную массу (т. е. содержащее некоторое количество материи), но не имеющее линейных размеров (бесконечно малый объем пространства).
Изолированной считается материальная точка, на которую не оказывают действие другие материальные точки. В реальном мире изолированных материальных точек, как и изолированных тел, не существует, это понятие является условным.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться не одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

Аксиомы динамики

Первая аксиома ( принцип инерции): в сякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы - килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона - основной закон динамики)

F=ma

где т - масса точки, кг; а - ускорение точки, м/с 2 .

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорционально величине силы и совпадает с направлением силы.

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G = mg,

где g - 9,81 м/с² , ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона): с илы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны .

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил): к аждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рисунок 3.1):

Рисунок 3.1

Понятие о трении. Виды трения.

Трение- сопротивление возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении – трение качания.

Трение скольжения

Рисунок 3.2.