Обыкновенные дифференциальные уравнения. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям - Камке Э Справочник по дифференциальным уравнениям камке

Предисловие к четвертому изданию
Некоторые обозначения
Принятые сокращения в библиографических указаниях
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной:(формула) основное понятия
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального уравнения
1.2. Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: (формула); методы решения
2.1. Метод ломаных
2.2. Метод последовательных приближений Пикара - Линделёфа
2.3. Применение степенных рядов
2.4. Более общий случай разложения в ряд
2.5. Разложение в ряд по параметру
2.6. Связь с уравнениями в частный производных
2.7. Теоремы об оценках
2.8. Поведение решений при больших значениях (?)
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной: (формула)
3.1. О решениях и методах решения
3.2. Регулярные и особые линейные элементы
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого порядка
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4.2. (формула)
4.3. Линейные дифференциальные уравнения
4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений
4.5. Уравнение Беднулли (формула)
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
4.7. Обобщенно-однородные уравнения
4.8. Специальное уравнение Риккати: (формула)
4.9. Общее уравнение Риккати: (формула)
4.10. Уравнение Абеля первого рода
4.11. Уравнение Абеля второго рода
4.12. Уравнение в полных дифференциалах
4.13. Интегрирующий множитель
4.14. (формула), «интегрирование посредством дифференцирования»
4.15. (формула)
4.16. (формула)
4.17. (формула)
4.18. Уравнения Клеро
4.19. Уравнение Лагранжа - Даламбера
4.20. (формула). Преобразование Лежандра
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2. Существование и единственность решения
5.3. Теорема существования Каратеодори
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров
5.5. Вопросы устойчивости
§ 6. Методы решения
6.1. Метод ломаных
6.2. Метод последовательных приближений Пикара - Линделёфа
6.3. Применение степенных рядов
6.4. Связь с уравнениями в частных производных
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения
6.7. Теоремы об оценках
§ 7. Автономные системы
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае n = 2
7.3. Критерии для определения типа особой точки
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы
8.1. Общие замечания
8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной
8.4. Теоремы об оценках
§ 9. Однородные линейные системы
9.1. Свойства решений. Фундаментальные Системы решений
9.2. Теоремы существования и методы решения
9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения
§ 10. Однородные линейные системы с особыми точками
10.1. Классификаций особых точек
10.2. Слабо особые точки
10.3. Сильно особые точки
§ 11. Поведение решений при больших значениях х
§ 12. Линейные системы, зависящие от параметра
§ 13. Линейные системы с постоянными коэффициентами
13.1. Однородные системы
13.2. Системы более общего вида
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной:(формула)
§ 15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной: (формула)
15.1. Уравнения в полных дифференциалах
15.2. Обобщенно-однородные уравнения
15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
16.1. Общие замечания
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения
16.3. Исключение производной (n-1)-го порядка
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5. Поведение решений при больших значениях х
§ 17. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
17.1. Свойства решений и теоремы существования
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения
17.3. О нулях решений
17.4. Фундаментальные решения
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные диф-ференвдальные формы
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
§ 18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми точками
18.1. Классификация особых точек
18.2. Случай, когда точка (?) регулярная или слабо особая
18.3. Случай, когда точка (?) регулярная или слабо особая
18.4. Случай, когда точка (?) сильно особая
18.5. Случай, когда точка (?) сильно особая
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9. Случай действительного переменного
§ 19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов
19.1. Общий принцип
19.2. Преобразование Лапласа
19.3. Специальное преобразование Лапласа
19.4. Преобразование Меллина
19.5. Преобразование Эйлера
19.6. Решение с помощью двойных интегралов
§ 20. Поведение решений при больших значениях х
20.1. Полиномиальные коэффициенты
20.2. Коэффициенты более общего вида
20.3. Непрерывные коэффициенты
20.4. Осцилляционные теоремы
§ 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, зависящие от параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.3. Уравнения Эйлера
22.4. Уравнение Лапласа
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами
22.6. Уравнение Похгаммера
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейное дифференциальные уравнения второго порядка
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений
23.2. Некоторые дополнительные замечания
23.3. Теоремы о предельных значениях
23.4. Осцилляцйовная теорема
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
24.1. Общие замечания
24.2. Некоторые методы решения
24.3. Теоремы об оценках
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь
25.4. Общие замечания о нулях решений
25.5. Нули решений на конечном интервале
25.6. Поведение решений при (?)
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения; действительное переменное
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное
25.10. Метод ВБК
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертвго порядка
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка
28.1. Метод ломаных
28.2. Метод добавочного полушага
28.3. Метод Рунге - Хейна - Кутта
28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений
28.5. Метод Адамса
28.6. Дополнения к методу Адамса
§ 29. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков
29.1. Методы приближенного интегрирования сястем дифференциальных уравнений первого порядка
29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка
29.3. Метод Рунге*-Кутта для дифференциальных уравнений это-рого порядка
29.4. Метод Адамса - Штёрмера для уравнения (формула)
29.5. Метод Адамса - Штёрмера для уравнения (формула)
29.6. Метод Блесса для уравнения (формула)
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка
§ 1. Общая теория краевых задач
1.1. Обозначения и предварительные замечания
1.2. Условия разрешимости краевой задачи
1.3. Сопряженная краевая задача
1.4. Самосопряженные краевые задачи
1.5. Функция Грина
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина
1.7. Обобщенная функция Грина
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнени (формула)
2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант (?)
2.2. Сопряженная задача о собственных значениях н резольвента Грииа; полная биортогональная система
2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма
2.8. Связь между краевыми задачами н интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.9. Связь между задачами о собственных значениях н интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра
2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
2.14. Применение к разложению по собственным функциям
2.15. Дополнительные замечания
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и краевых задач
3.1. Приближенный метод Галеркина - Ритца
3.2. Приближенный метод Граммеля
3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина - Ритца
3.4. Метод последовательных приближений
3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей
3.6. Метод возмущений
3.7. Оценки для собственных значений
3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных функций
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения (формула)
4.1. Постановка задачи
4.2. Общие предварительные замечания
4.3. Нормальные задачи о собственных значениях
4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях
4.5. Разложение по собственным функциям
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений
6.1. Обозначения и условия разрешимости
6.2. Сопряженная краевая задача
6.3. Матрица Грина
6.4. Задачи о собственных значениях
6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений низших порядков
§ 7. Задачи первого порядка
7.1. Линейные задачи
7.2. Нелинейные задачи
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка
8.1. Общие замечания
8.2. Функция Грина
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода
8.4. Краевые условия при (?)
8.5. Отыскание периодических решений
8.6. Одна краеваи задача, связанная с изучением течения жидкости
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка
9.1. Общие замечания
9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях
9.3. (формула) и краевые условия самосопряженны
9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип
9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций
9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные
9.7. Дополнительные условия более общего вида
9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале
§ 10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях второго порядка
10.1. Краевые задачи для конечного интервала
10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала
10.3. Задачи о собственных значениях
§ 11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего - восьмого порядков
11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка
11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка
11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка
11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1-367. Дифференциальные уравнения первой степени относительно (?)
368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно (?)
518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно (?)
545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-90. (формула)
91-145. (формула)
146- 221. (формула)
222-250. (формула)
251-303. (формула)
304-341. (формула)
342-396. (формула)
397-410. (формула)
411-445. Прочие дифференциальные уравнения
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких порядков
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-72. (формула)
73-103. (формула)
104-187. (формула)
188-225. (формула)
226-249. Прочие дифференциальные уравнения
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания
1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
19-25. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше первого
44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1-17. Системы двух дифференциальных уравнений
18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И. Зборник)
Дополнения к книге Э. Камке (Д. Митринович)
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и построения их общего решения с помощью рекуррентных формул (И. Зборник)
Предметный указатель

Однако в самое последнее время интерес к дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка вновь сильно возрос. Этому способствовало два обстоятельства. Прежде всего, оказалось, что так называемые обобщенные решения квазилинейных уравнений первого порядка представляют исключительный интерес для приложений (например, в теории ударных волн в газовой динамике и т. д.). Кроме того, далеко вперед шагнула теория систем дифференциальных уравнений в частных производных. Тем не менее до настоящего времени на русском языке не существует монографии, в которой были бы собраны и изложены все факты, накопившиеся в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, если не считать известной книги Н. М. Гюн-

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

тера, давно уже ставшей библиографической редкостью. Настоящая книга до некоторой степени восполняет этот пробел.

Имя профессора Тюбингенского университета Э. Камке знакомо советским математикам. Ему принадлежит большое число работ по дифференциальным уравнениям и некоторым другим разделам математики, а также несколько книг учебного характера. В частности, его монография «Интеграл Лебега - Стилтьеса» была переведена на русский язык и вышла в 1959 году. Три издания на русском языке в 1951, 1961, 1965 годах выдержал «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям», представляющий собой перевод первого тома «Gewohnliche Differenlialglelchungen» книги Э. Камке «Differentialgleichungen (Losungsmethoden und L6sungen)».

«Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка» - перевод второго тома той же книги. Здесь собрано около 500 уравнений с решениями. Помимо этого материала, настоящий справочник содержит конспективное (без доказательств) изложение ряда теоретических вопросов, в том числе таких, которые не включаются в обычные курсы дифференциальных уравнений, например теоремы существования, единственности и др.

При подготовке русского издания была переработана имеющаяся в книге обширная библиография. Ссылки на старые и малодоступные иностранные учебники были по возможности заменены ссылками на отечественную и переводную литературу. Были исправлены все замеченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и дополнения, внесенные в книгу при редактировании, заключены в квадратные скобки.

Этот справочник, созданный в начале сороковых годов (и с тех пор неоднократно переиздававшийся в ГДР без всяких изменений), несомненно, уже не отражает в полной мере тех достижений, которые имеются сейчас в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Так, в справочнике не нашла никакого отражения теория обобщенных решений квазилинейных уравнений, развитая в известных работах И. М. Гельфанда, О. А. Олейник и др. Можно привести примеры не вошедших в книгу последних результатов, касающихся непосредственно затронутых в справочнике вопросов. Не освещена в справочнике и теория уравнений Пфаффа. Однако, думается, что и в этом ее виде книга окажется несомненно полезным путеводителем по классической теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Приведенная в книге сводка уравнений, решения которых можно записать в конечном виде, очень интересна и полезна, но, конечно, не является исчерпывающей. Она была составлена автором на базе работ, появившихся до начала сороковых годов.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

х, у; хи хп; уи.... уп - независимые переменные, г- {х{, хп} а, Ь, с; А, В, С - константы, постоянные коэффициенты, @, @ (х, у), @ (г) - открытая область, область на плоскости (х, у), в пространстве переменных xt,...,xn [обычно-область непрерывности коэффициентов и решения. -Прим. ред.], g - подобласть @, F, f - общая функция,

fi - произвольная функция, г;г(х,у); z - ty(x....., хп) - искомая функция, решение,

Дг _ дг _ дг _ дг

р~~дх " q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

х, |Л, k, п - индексы суммирования,

\ п)~ п! (п - т)! "

/ г„ ... zln \

det | zkv\ - определитель матрицы I.....I.

\ гш - гпп I

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ В БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ УКАЗАНИЯХ

Гюнтер - Н. М. Гюнтер, Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, ГТТИ, 1934.

Камке - Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, «Наука», 1964.

Курант - Р. Курант, Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.

Петровский - И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, «Наука», 1964.

Степанов - В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физмат-гиз, 1959.

Камке, DQlen-Э. Камке, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1944.

Сокращения наименований периодических изданий соответствуют общепринятым и потому при переводе опущены; см., однако, К а м к е. - Прим. ред.]

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

[Вопросам, рассматриваемым в первой части, посвящена следующая литература:

Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939

Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966

Аносов Д.В. (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). М.: Мир, 1977

Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974

Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968

Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969

Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950

Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967

Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974

Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979

Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: АН БССР, 1963

Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГУ, 1956

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996

Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996

Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989

Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971

Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). М.: Наука, 1971

Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959

Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979

Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995

Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968

Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972

Коялович Б.М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy-ydx=Rdx. СПб: Академия наук, 1894

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959

Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962

Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933

Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957

Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. Л.-М., ГИТТЛ, 1934

Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978

Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961

Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966

Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977

Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук. думка, 1972

Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967

Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975

Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969

Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910

Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947

Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964

Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1973

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947

Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987

Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том 1. М.: ИЛ, 1953

Пер. с нем. — 4-е изд., испр. - М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. - 576с.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890- 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.

Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, - около 1650 уравнений с решениями - сохраняет большое значение и сейчас.

Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).

Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.

• Оглавление
• Предисловие к четвертому изданию 11
• Некоторые обозначения 13
• Принятые сокращения в библиографических указаниях 13
• ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
• ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
• § 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно 19
• производной: у" =f(x,y); основные понятия
• 1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального 19
• уравнения
• 1.2. Существование и единственность решения 20
• § 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно 21
• производной: у" =f(x,y); методы решения
• 2.1. Метод ломаных 21
• 2.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа 23
• 2.3. Применение степенных рядов 24
• 2.4. Более общий случай разложения в ряд 25
• 2.5. Разложение в ряд по параметру 27
• 2.6. Связь с уравнениями в частных производных 27
• 2.7. Теоремы об оценках 28
• 2.8. Поведение решений при больших значениях х 30
• § 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно 32
• производной: F(y", у,х)=0
• 3.1. О решениях и методах решения 32
• 3.2. Регулярные и особые линейные элементы 33
• § 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34
• порядка
• 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35
• 4.2. y"=f(ax+by+c) 35
• 4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35.
• 4.4. Асимптотическое поведение решений
• 4.5. Уравнение Бернулли y"+f(x)y+g(x)y a =0 38
• 4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним 38
• 4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40
• 4.8. Специальное уравнение Риккати: у"+ау 2 =Ьх а 40
• 4.9. Общее уравнение Риккати: y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
• 4.10. Уравнение Абеля первого рода 44
• 4.11. Уравнение Абеля второго рода 47
• 4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49
• 4.13. Интегрирующий множитель 49
• 4.14. F(y",y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50
• 4.15. (a) y=G(x, у"); (б) x=G(y, у") 50 4.16. (a) G(y ",х)=0; (б) G(y y)=Q 51
• 4Л7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
• 4.18. Уравнения Клеро 52
• 4.19. Уравнение Лагранжа -Даламбера 52
• 4.20. F(x, ху"-у, у")=0. Преобразование Лежандра 53 Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений,
• разрешенных относительно производных
• § 5. Основные понятия 54
• 5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
• 5.2. Существование и единственность решения 54
• 5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5
• 5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 56
• 5.5. Вопросы устойчивости 57
• § 6. Методы решения 59
• 6.1. Метод ломаных 59
• 6.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа 59
• 6.3. Применение степенных рядов 60
• 6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61
• 6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
• 6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
• 6.7. Теоремы об оценках 62
• § 7. Автономные системы 63
• 7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64
• 7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2
• 7.3. Критерии для определения типа особой точки 66
• Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
• § 8. Произвольные линейные системы 70
• 8.1. Общие замечания 70
• 8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 70
• 8.3. Сведение неоднородной системы к однородной 71
• 8.4. Теоремы об оценках 71
• § 9. Однородные линейные системы 72
• 9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72
• 9.2. Теоремы существования и методы решения 74
• 9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений 75
• 9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений 76
• 9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений, 76
• 9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
• 9.7. Фундаментальные решения 78
• §10. Однородные линейные системы с особыми точками 79
• 10.1. Классификация особых точек 79
• 10.2. Слабо особые точки 80
• 10.3. Сильно особые точки 82 §11. Поведение решений при больших значениях х 83
• §12. Линейные системы, зависящие от параметра 84
• §13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86
• 13.1. Однородные системы 83
• 13.2. Системы более общего вида 87 Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
• § 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89
• yin)=f(x,y,y...,y{n-) }
• §15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной: 90
• F(x,y,y...,y(n))=0
• 15.1. Уравнения в полных дифференциалах 90
• 15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90
• 15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,
• §16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 92
• 16.1. Общие замечания 92
• 16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения 92
• 16.3. Исключение производной (п-1)-го порядка 94
• 16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
• 16.5. Поведение решений при больших значениях х 94
• §17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 95
• 17.1. Свойства решений и теоремы существования 95
• 17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения 96
• 17.3. 0 нулях решений 97
• 17.4. Фундаментальные решения 97
• 17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
• 17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99
• 17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
• §18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми 101
• точками
• 18.1. Классификация особых точек 101
• 18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая 104
• 18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая 108
• 18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107
• 18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108
• 18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
• 18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
• 18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
• 18.9. Случай действительного переменного 112
• §19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 113
• определенных интегралов 19.1. Общий принцип 113
• 19.2. Преобразование Лапласа 116
• 19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119
• 19.4. Преобразование Меллина 120
• 19.5. Преобразование Эйлера 121
• 19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123
• § 20. Поведение решений при больших значениях х 124
• 20.1. Полиномиальные коэффициенты 124
• 20.2. Коэффициенты более общего вида 125
• 20.3. Непрерывные коэффициенты 125
• 20.4. Осцилляционные теоремы 126
• §21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от 127
• параметра
• § 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных 129
• уравнений п-то порядка
• 22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
• 22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными 130
• 22.3. Уравнения Эйлера 132
• 22.4. Уравнение Лапласа 132
• 22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами 133
• 22.6. Уравнение Похгаммера 134
• Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
• § 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 139
• 23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139
• 23.2. Некоторые дополнительные замечания 140
• 23.3. Теоремы о предельных значениях 141
• 23.4. Осцилляционная теорема 142
• § 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго 142
• порядка
• 24.1. Общие замечания 142
• 24.2. Некоторые методы решения 143
• 24.3. Теоремы об оценках 144
• § 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 145
• 25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
• 25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
• 25.3. Разложение решения в непрерывную дробь 149
• 25.4. Общие замечания о нулях решений 150
• 25.5. Нули решений на конечном интервале 151
• 25.6. Поведение решений при х->inf 153
• 25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
• 25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное
• 25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное 161 25.10. Метод ВБК 162 Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого
• порядков
• § 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка 163
• § 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 164 Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных
• уравнений
• § 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 165
• первого порядка
• 28.1. Метод ломаных 165.
• 28.2. Метод добавочного полушага 166
• 28.3. Метод Рунге - Хейна - Кутта 167
• 28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений 168
• 28.5. Метод Адамса 170
• 28.6. Дополнения к методу Адамса 172
• § 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений 174
• высших порядков
• 29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
• 29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176
• 29.3. Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка
• 29.4. Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y,y) 177
• 29.5. Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y) 178
• 29.6. Метод Блесса для уравнения y"=f(x,y,y) 179
• ЧАСТЬ ВТОРАЯ
• КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных
• дифференциальных уравнений п-то порядка
• § 1. Общая теория краевых задач 182
• 1.1. Обозначения и предварительные замечания 182
• 1.2. Условия разрешимости краевой задачи 184
• 1.3. Сопряженная краевая задача 185
• 1.4. Самосопряженные краевые задачи 187
• 1.5. Функция Грина 188
• 1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190
• 1.7. Обобщенная функция Грина 190
• § 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения 193
• £шу (у) +Ых)у = 1(х)
• 2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант А(Х)
• 2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система
• 2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях 2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
• 2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
• 2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200
• 2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204
• 2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма
• 2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма
• 2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра 211
• 2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
• 2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра
• 2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
• 2.14. Применение к разложению по собственным функциям 218
• 2.15. Дополнительные замечания 219
• § 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и 222-
• краевых задач
• 3.1. Приближенный метод Галеркина - Ритца 222
• 3.2. Приближенный метод Граммеля 224
• 3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина - Ритца
• 3.4. Метод последовательных приближений 226
• 3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей
• 3.6. Метод возмущений 230
• 3.7. Оценки для собственных значений 233
• 3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций
• § 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения 238
• F(y)=W(y)
• 4.1. Постановка задачи 238
• 4.2. Общие предварительные замечания 239
• 4.3. Нормальные задачи о собственных значениях 240
• 4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241
• 4.5. Разложение по собственным функциям 244
• § 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида 247 Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем
• линейных дифференциальных уравнений
• § 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем 249
• линейных дифференциальных уравнений
• 6.1. Обозначения и условия разрешимости 249
• 6.2. Сопряженная краевая задача 250
• 6.3. Матрица Грина 252 6.4. Задачи о собственных значениях 252-
• 6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях 253 Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений
• низших порядков
• § 7. Задачи первого порядка 256
• 7.1. Линейные задачи 256
• 7.2. Нелинейные задачи 257
• § 8. Линейные краевые задачи второго порядка 257
• 8.1. Общие замечания 257
• 8.2. Функция Грина 258
• 8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода 259
• 8.4. Краевые условия при |х|->inf 259
• 8.5. Отыскание периодических решений 260
• 8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260
• § 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261
• 9.1. Общие замечания 261
• 9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях 263
• 9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны 266
• 9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип 269
• 9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций
• 9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные 271
• 9.7. Дополнительные условия более общего вида 273
• 9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
• 9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276
• 9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 277
• §10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях 278
• второго порядка
• 10.1. Краевые задачи для конечного интервала 278
• 10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала 281
• 10.3. Задачи о собственных значениях 282
• §11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего- 283
• восьмого порядков
• 11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка 283
• 11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284
• 11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
• 11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка 287
• 11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка 288
• ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
• ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
• Предварительные замечания 290 Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
• 1-367. Дифференциальные, уравнения первой степени относительно У 294
• 368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно 334 518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно 354
• 545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида 358Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
• 1-90. ау" + ... 363
• 91-145. (ах+ЬУу" + ... 385
• 146-221.x 2 у" + ... 396
• 222-250. (х 2 ±а 2)у"+... 410
• 251-303. (ах 2 +Ьх+с)у" + ... 419
• 304-341. (ах 3 +...)у" + ... 435
• 342-396. (ах 4 +...)у" + ... 442
• 397-410. (ах« +...)у" + ... 449
• 411-445. Прочие дифференциальные уравнения 454
• Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких
• порядковГлава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
• 1-72. ay"=F(x,y,y) 485
• 73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
• 104- 187./(х)ху"ЧР(х,;у,;у") 503
• 188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y }) 514
• 226-249. Прочие дифференциальные уравнения 520Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более
• высоких порядковГлава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
• Предварительные замечания 530
• 1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 530
• постоянными коэффициентами 19-25.
• Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с 534
• переменными коэффициентами
• 26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше 535
• первого
• 44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 538Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
• 1-17. Системы двух дифференциальных уравнений 541
• 18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544
• ДОПОЛНЕНИЯ
• О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник) 547
• Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович) 556
• Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и 568
• построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
• (И.Зборник)
• Предметный указатель 571

Название : Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

«Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям» известного немецкого математика Эриха Камке (1890 - 1961) представляет собой уникальное по охвату материала издание и занимает достойное место в мировой справочной математической литературе.
Первое издание русского перевода этой книги появилось в 1951 году. Прошедшие с тех пор два десятилетия были периодом бурного развития вычислительной математики и вычислительной техники. Современные вычислительные средства позволяют быстро и с большой точностью решать разнообразные задачи, ранее казавшиеся слишком громоздкими. В частности, численные методы широко применяются в задачах, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Тем не менее возможность записать общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества. Поэтому обширный справочный материал, который собран в третьей части книги Э. Камке, - около 1650 уравнений с решениями - сохраняет большое значение и сейчас.

Помимо указанного справочного материала, книга Э. Камке содержит изложение (правда, без доказательств) основных понятий и важнейших результатов, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Здесь освещается и ряд таких вопросов, которые обычно не включаются в учебники по дифференциальным уравнениям (например, теория краевых задач и задач о собственных значениях).
Книга Э. Камке содержит множество фактов и результатов, полезных в повседневной работе, она оказалась ценной и нужной для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, для инженеров и студентов. Три предыдущих издания перевода этого справочника на русский язык были одобрительно встречены читателями и давно разошлись.
Перевод на русский язык был заново сверен с шестым немецким изданием (1959 года); исправлены замеченные неточности, ошибки и опечатки. Все вставки, замечания и дополнения, сделанные в тексте редактором и переводчиком, заключены в квадратные скобки. В конце книги под заголовком «Дополнения» помещены сокращенные переводы (выполненные Н. X. Розовым) тех нескольких журнальных статей, дополняющих справочную часть, которые автор упомянул в шестом немецком издании.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I.
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
производной: у" =f(x,y); основные понятия
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального
уравнения
1.2. Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно
производной: у" =f(x,y); методы решения
2.1. Метод ломаных
2.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа
2.3. Применение степенных рядов
2.4. Более общий случай разложения в ряд25
2.5. Разложение в ряд по параметру 27
2.6. Связь с уравнениями в частных производных27
2.7. Теоремы об оценках 28
2.8. Поведение решений при больших значениях х 30
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно32
производной: F(y", у,х)=0
3.1. О решениях и методах решения 32
3.2. Регулярные и особые линейные элементы33
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого 34
порядка
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 35
4.2. y"=f(ax+by+c) 35
4.3. Линейные дифференциальные уравнения 35.
4.4. Асимптотическое поведение решений линейныхдифференциальных уравнений
4.5. Уравнение Бернулли y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним38
4.7. Обобщенно-однородные уравнения 40
4.8. Специальное уравнение Риккати: у"+ау2=Ьха 40
4.9. Общее уравнение Риккати: y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Уравнение Абеля первого рода44
4.11. Уравнение Абеля второго рода47
4.12. Уравнение в полных дифференциалах 49
4.13. Интегрирующий множитель 49
4.14. F(y",y,x)=0, "интегрирование посредством дифференцирования" 50
4.15. (a) y=G(x, у"); (б) x=G(y, у") 50
4.16. (a) G(y ",х)=0; (б) G(y \y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Уравнения Клеро 52
4.19. Уравнение Лагранжа -Даламбера 52
4.20. F(x, ху"-у, у")=0. Преобразование Лежандра53
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия54
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2. Существование и единственность решения 54
5.3. Теорема существования Каратеодори 5 5
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров56
5.5. Вопросы устойчивости57
§ 6. Методы решения 59
6.1. Метод ломаных59
6.2. Метод последовательных приближений Пикара-Линделёфа59
6.3. Применение степенных рядов 60
6.4. Связь с уравнениями в частных производных 61
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
6.7. Теоремы об оценках 62
§ 7. Автономные системы 63
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы 64
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п = 2
7.3. Критерии для определения типа особой точки 66
Глава III.
§ 8. Произвольные линейные системы70
8.1. Общие замечания70
8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения70
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной71
8.4. Теоремы об оценках 71
§ 9. Однородные линейные системы72
9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений 72
9.2. Теоремы существования и методы решения 74
9.3. Редукция системы к системе С меньшим числом уравнений75
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений76
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений, 76
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения78
§10. Однородные линейные системы с особыми точками 79
10.1. Классификация особых точек 79
10.2. Слабо особые точки80
10.3. Сильно особые точки 82
§11. Поведение решений при больших значениях х 83
§12. Линейные системы, зависящие от параметра84
§13. Линейные системы с постоянными коэффициентами 86
13.1. Однородные системы 83
13.2. Системы более общего вида 87
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной: 89
yin)=f(x,y,y\...,y{n-\)}
§15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Уравнения в полных дифференциалах90
15.2. Обобщенно-однородные уравнения 90
15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у 91
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка,
§16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка92
16.1. Общие замечания92
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения92
16.3. Исключение производной (п-1)-го порядка94
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5. Поведение решений при больших значениях х94
§17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка 95
17.1. Свойства решений и теоремы существования 95
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения96
17.3. 0 нулях решений 97
17.4. Фундаментальные решения 97
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина 99
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полныхдифференциалах
§18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми101
точками
18.1. Классификация особых точек 101
18.2. Случай, когда точка х=Е, регулярная или слабо особая104
18.3. Случай, когда точка x=inf регулярная или слабо особая108
18.4. Случай, когда точка х=% сильно особая 107
18.5. Случай, когда точка x=inf сильно особая 108
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9. Случай действительного переменного112
§19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью 113
определенных интегралов
19.1. Общий принцип 113
19.2. Преобразование Лапласа 116
19.3.Специальноепреобразование Лапласа 119
19.4. Преобразование Меллина 120
19.5. Преобразование Эйлера 121
19.6. Решение с помощью двойных интегралов 123
§ 20. Поведение решений при больших значениях х 124
20.1. Полиномиальные коэффициенты124
20.2. Коэффициенты более общего вида 125
20.3. Непрерывные коэффициенты 125
20.4. Осцилляционные теоремы126
§21. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка, зависящие от127
параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных129
уравнений п-то порядка
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными130
22.3. Уравнения Эйлера 132
22.4. Уравнение Лапласа132
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами133
22.6. Уравнение Похгаммера134
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 139
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений 139
23.2. Некоторые дополнительные замечания140
23.3. Теоремы о предельных значениях 141
23.4. Осцилляционная теорема 142
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго 142
порядка
24.1. Общие замечания142
24.2. Некоторые методы решения 143
24.3. Теоремы об оценках 144
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка 145
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь 149
25.4. Общие замечания о нулях решений150
25.5. Нули решений на конечном интервале151
25.6. Поведение решений при х->inf 153
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения действительное переменное
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное161
25.10. Метод ВБК 162
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого
порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка163
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 164
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных
уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 165
первого порядка
28.1. Метод ломаных165.
28.2. Метод добавочного полушага 166
28.3. Метод Рунге - Хейна - Кутта 167
28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений168
28.5. Метод Адамса 170
28.6. Дополнения к методу Адамса 172
§ 29. Приближеннее интегрирование дифференциальных уравнений 174
высших порядков
29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка 176
29.3. Метод Рунге-Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка
29.4. Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y,y) 177
29.5. Метод Адамса - Штермера для уравнения y"=f(x,y) 178
29.6. Метод Блесса для уравнения y"=f(x,y,y) 179

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных
дифференциальных уравнений п-то порядка
§ 1. Общая теория краевых задач182
1.1. Обозначения и предварительные замечания 182
1.2. Условия разрешимости краевой задачи184
1.3. Сопряженная краевая задача 185
1.4. Самосопряженные краевые задачи 187
1.5. Функция Грина 188
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина 190
1.7. Обобщенная функция Грина 190
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения 193
£ШУ(У)+ЫХ)У = 1(Х)
2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант А(Х)
2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система
2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма 204
2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра211
2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра
2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением
2.14. Применение к разложению по собственным функциям218
2.15. Дополнительные замечания219
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и222-
краевых задач
3.1. Приближенный метод Галеркина - Ритца222
3.2. Приближенный метод Граммеля224
3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина - Ритца
3.4. Метод последовательных приближений 226
3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей
3.6. Метод возмущений 230
3.7. Оценки для собственных значений 233
3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных 236 функций
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения238
F(y)=W(y)
4.1. Постановка задачи 238
4.2. Общие предварительные замечания 239
4.3. Нормальные задачи о собственных значениях 240
4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241
4.5. Разложение по собственным функциям 244
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида 247
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем
линейных дифференциальных уравнений
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем 249
линейных дифференциальных уравнений
6.1. Обозначения и условия разрешимости 249
6.2. Сопряженная краевая задача 250
6.3. Матрица Грина252
6.4. Задачи о собственных значениях 252-
6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях 253
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнений
низших порядков
§ 7. Задачи первого порядка256
7.1. Линейные задачи 256
7.2. Нелинейные задачи 257
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка257
8.1. Общие замечания 257
8.2. Функция Грина 258
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода259
8.4. Краевые условия при |х|->inf259
8.5. Отыскание периодических решений 260
8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости 260
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка 261
9.1. Общие замечания 261
9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y и краевые условия самосопряженны266
9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип269
9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственныхфункций
9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные271
9.7. Дополнительные условия более общего вида273
9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров
9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках 276
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале 277
§10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях 278
второго порядка
10.1. Краевые задачи для конечного интервала 278
10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала 281
10.3. Задачи о собственных значениях282
§11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего- 283
восьмого порядков
11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка283
11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284
11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка 287
11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка288

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания 290
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
1-367. Дифференциальные, уравнения первой степени относительно У 294
368-517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно334
518-544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно354
545-576. Дифференциальные уравнения более общего вида358
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-90. ау" + ...363
91-145. (ах+ЬУу" + ... 385
146-221.x2 у" + ... 396
222-250. (х2±а2)у"+... 410
251-303. (ах2 +Ьх+с)у" + ... 419
304-341. (ах3 +...)у" + ...435
342-396. (ах4 +...)у" + ...442
397-410. (ах« +...)у" + ...449
411-445. Прочие дифференциальные уравнения 454
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких
порядков
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187./(х)ху"ЧР(х,;у,;у")503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y}) 514
226-249. Прочие дифференциальные уравнения 520
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более
высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания 530
1-18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с530
постоянными коэффициентами 19-25.
Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с534
переменными коэффициентами
26-43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше535
первого
44-57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений538
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1-17. Системы двух дифференциальных уравнений541
18-29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И.Зборник) 547
Дополнения к книге Э. Камке (Д.Митринович) 556
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и 568
построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
(И.Зборник)
Предметный указатель 571