Производная числа e. Производная показательной функции. Число е. План работы по модулю

Учитель математики МОУ

«Мултановская СОШ»

Маханова Самига Галимжановна

с. М у л т а н о в о

Февраль 2011г.

Тема урока: «Число е. Производная показательной функции».

Цель: Ввести понятие «экспоненты» , «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции у = е х, первообразной показательной функции.

Образовательная:

Повторить и углубить знания по теме «Показательная функция. Свойства показательной функции»;

Повторить правила дифференцирования функции;

Познакомить учащихся с понятием «экспоненты» (числа е);

Познакомить учащихся с формулами производной показательной функции у = а х и у = а кх +b ;

Познакомить с формулой первообразной показательной функции;

Формировать навыки вычисления производной показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Развивающая:

Развивать и совершенствовать применение правил дифференцирования

для показательной функции;

Научить учащихся применять электронные информационные технологии при обучении и подготовке к урокам математики.

Повышать графическую культуру учащихся;

Содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.

Воспитательная:

Создавать для учащихся положительную мотивацию к уроку математики путем вовлечения каждого в активную деятельность;

Воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу товарищей;

Помочь осознать ценности совместной работы;

Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру математической речи.

Оборудование к уроку:

Компьютерный класс (8 ноутбуков +1ноутбук для демонстрации), проектор, презентация, раздаточный материал.

Ход урока:

Организация урока, объявление темы и цели урока:

Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель: (Слайд2.) познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции и научиться выполнять дифференцирование показательной функции.

Эпиграфом к нашему уроку я выбрала стихи Б. Слуцкого: (слайд 3.)

…Показательная функция

Не случайно родилась,

В жизнь органически влилась

И движением прогресса занялась.

Б. Слуцкий

I. Актуализация опорных знаний:

Устная фронтальная работа с классом:

Сформулируйте определение показательной функции (Слайд 5.)

Перечислите по графику основные свойства показательной функции.

(Слайд 6)

Свойства показательной функции: (слайд 4)

Область определения функции

Область значений показательной функции

График функции с осью ОУ пересекается в точке (0;1) и не пересекается с осью ОХ.

Показательная функция принимает положительные значения на всей числовой прямой.

Перечислите свойства показательной функции при а 1.

Перечислите свойства показательной функции при 0 .

Дайте определение производной функции в точке х 0 . (слайд 7)

Сформулируйте геометрический смысл производной. (слайд 8)

А сейчас вспомним правила дифференцирования функций:

2) Игра «Найди пары». (слайд 9.)

Для формул из первого столбика найдите правильные ответы из второго столбика и прочитайте слово из третьего столбика. Устно, с комментированием.

II .Изучение новой темы:

1) Исследовательская работа с помощью ЭОР ресурсов за ноутбуками. Работа в паре.

Откройте в Интернете Цифровые образовательные ресурсы по алгебре и началам анализа 11 класс тема: «Производные показательной функции, числа е и натурального логарифма.» модуль И1
Внимательно ознакомьтесь с каждым элементом Модуля, запишите в тетрадях основные формулы, ознакомьтесь с их доказательствами.

Выполните задания для самоконтроля. Проверьте итог своих работ по «Статистике» (С).

План работы по модулю:

Показательная функция с основанием е. – (Знакомство с экспонентой)

Формула производной показательной функции. – (Вывод формулы производной функции у = е х)

Задание для самоконтроля. – (тест с выбором ответа)

Определение натурального логарифма ln. – (ln x = log e x)

Формула производной показательной функции. – (вывод формулы производной показательной формулы)

Задание для самоконтроля. – (Задание с кратким ответом)

Первообразная показательной функции – (вывод формулы производной показательной функции)

Задание для самоконтроля – (тест с выбором ответа)
2) C л. 15-18 Фронтальный опрос, по изученному материалу. Первичное закрепление материала. Применение формул производной показательной функции.

(e х )" = e х ;

(e кх + b )" = k e kx + b ;

(a x )" = a x ∙ ln a ;

(a kx + b )" = k a Kx +b ∙ ln a

F(a x ) =
Ученик работает самостоятельно у доски:

Решение: f(x) = x 2 * 2 –x; D(f) = R; f " = 2x * 2 –x – x 2 * 2 -x ln2, D(f) =R ,

2x * 2 –x – x 2 * 2 –x ln2 = 0;

X * 2 -x (2 – x * ln 2) = 0; - min + max - f " (x)

X * 2 –x = 0 ; 2 – x * ln x = 0 2 – x > 0, x = 0; 2 – x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)

Ответ: х max = 2 / ln2; x min = 0
Самостоятельная работа обучающего характера:

Самостоятельная работа в паре за ноутбуками. Интерактивный модуль П1 «производная показательной функции. Число е. Натуральный логарифм». – тест из 5 заданий. При открытии модуля на каждом компьютере выходят разные задания.

V.Итог урока: Что нового вы узнали на уроке?

Какие моменты урока для вас были наиболее интересными?

Кто доволен своей работой на уроке?

VI. Домашнее задание: п. 41 ; № 539(а,б,г); 540(в); 542(а,б); 544(б).

Интерактивный тест с компьютером. Свойства показательной функции К1.

На рабочем столе каждого компьютера откройте Модуль Cл. 11

«Свойства показательной функции К1». Нажмите «мышкой» на «воспроизвести модуль». Вам выйдет тест из 5 заданий.

Выполните 1 -задание Модуля, нажмите «мышкой» на номер верного ответа или запишите ответ в тесте. Нажмите «мышкой » на «ответить» и переходите к другому заданию.

Если выполнили задание неверно, откройте подсказку,

найдите ошибку в своем решении.

Проверьте итог своих работ по «Статистике» (С).

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .

Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2 x .

По формуле производной показательной функции получаем:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Ответ: (2 x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′ = e x .

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a :
(2) .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x :
y = e x .
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела :
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a :
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Дидактическая цель: сформировать представление о числе е, доказать дифференцируемость функции в любой точке , дифференцирование функции . Дать понятие натурального логарифма.

Развивающая цель: развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с применением персонального компьютера.

Воспитательная цель: продолжить формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшим качеством будущего специалиста.

Наглядные пособия: плакаты.

Раздаточный материал: карточки-задания для индивидуальной работы. Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркнуть значение числа е и натурального логарифма.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II . Объяснение нового материала.

1)Графики показательной функции.

3) Число .

4) Вычисление числа .

5) Формула производной показательной функции.

6) Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

7) Первообразная показательной функции.

8) 3начение числа .

III. Решение примеров.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х 0 . Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=а х для у=2 х , у=З х , у=2,З х (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°...51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg 35 до tg 51.

Существует такое число, болышее2 и меньшее 3, что показательная функция у=а х в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Первые числа таковы 2,718288182459045~2,7.

Функцию часто называют экспонентой. Полученное число играет огромную роль в высшей математике также как и знаменитое число 3,14. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция .

Доказательство. Находим приращение функции

при .

По определению производной , т.е при любых .

Доказать, что самостоятельно.

Пример.

Даю определение: Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию :

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и .

Примеры. , . Найти производные функций.

Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

Пример. Исследуем функцию на возрастание (убывание) и экстремум и построим её график.

Так как для любых , то знак совпадает со знаком . Следовательно на , - возрастает

на , - убывает.

Для построения графика используем программу MS Excel .

Первообразная показательной функции.

Теорема 3.Первообразной для функции на R является функция . Доказательство:

Примеры:

а) ,

б) ,

в) , .

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Значение е.

Полученное число играет огромную роль в математике, физике, астрономии, биологии и других науках. Вот некоторые:

Это славное е

Помогает вполне

Уяснить вам и мне

Год рожденья Толстого Л.Н. 2,71828

Формула Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783г) Знаменитый математик 18в. Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов верёвки вокруг сваи.

, -сила, против которой направлено наше усилие ; е;

Коэффициент трения между верёвкой и сваей, - угол навивания, т.е. отношение длины дуги, охваченной верёвкой, к радиусу этой дуги. В обыденной жизни, мы, сами не подозревая, часто пользуемся выгодой, которую указывает нам формула Эйлера.

Что такое узел? Это бечёвка, навитая на валик. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше. Правило возрастания трения таково, что, увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растёт в прогрессии геометрической.

Бессознательно пользуется тем же обстоятельством и портной, пришивая пуговицу. Он много раз обматывает нитку вокруг захваченного стежком участка материи и затем обрывает её, если только нитка крепка, пуговица не отпорется. Здесь применяется уже знакомые нам правило: с увеличением числа оборотов нитки в прогрессии арифметической крепость шитья возрастает в прогрессии геометрической. Если бы не было трения, мы не могли бы пользоваться пуговицами: нитки размотались бы под их тяжестью и пуговицы отвалились бы. , -Людвигу Больцману(1844-1906г), австрийскому физику, открывшему основной закон природы, определяющий направление всех физических процессов, стремящихся к равновесию как наиболее вероятному состоянию. -энтропия, т.е. мера достижения системой равновесия, -вероятность состояния системы.

Итоги урока. Домашнее задание: №538,№542

Приложение №1