Аношина О.В.
практикум для бакалавров [Гриф Минобразования РФ] / В. С.
Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб. и доп. Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Высшая математика. Полный курс: учебник
для акад. бакалавриата [Гриф УМО] / В. С. Шипачев; под ред. А.
Н. Тихонова. - 4-е изд., испр. и доп. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007. – 304+415c.
Контрольная работа. Выполняется в соответствии:
Задания и методические указания к выполнению контрольных работ
по дисциплине «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА», Екатеринбург, ФГАОУ
ВО «Российский государственный профессионально-педагогический
университет», 2016 - 30с.
Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера
зачетной книжки.
2.
Экзамен
первообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .Очевидно, если F x - первообразная
функции f x , то F x C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо первообразная
функции f x , то всякая функция вида
Ф x F x C также является
первообразной функции f x и всякая
первообразная представима в таком виде.Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .Если F x - некоторая первообразная функции
f x , то пишут f x dx F x C , хотя
правильнее бы писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции будем писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ
f x dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции f x ,
так и любой элемент этого множества.
подынтегральной функции, а его дифференциалподынтегральному выражению. Действительно:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
дифференциала непрерывно (x)
дифференцируемой функции равен самой
этой функции с точностью до постоянной:
d (x) (x)dx (x) C,
так как (x) является первообразной для (x).
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x
свойствами: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
пользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C .
=
2
2
2
2 2
непосредственно подобрать первообразную
для f x мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная
ax b
dx ,
x px q
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом замены переменных,
предварительно выделив в
знаменателе полный квадрат.
2
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
задача нахождения площади криволинейной
трапеции.
Пусть на некотором интервале задана
непрерывная функция y f (x) 0
Задача:
Построить ее график и найти F площадь фигуры,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a и x
= b, а снизу – отрезком оси абсцисс между точками
x = a и x = b.Фигура aABb называется
криволинейной трапецией
f (x)dx
Под определенным интегралом
a
от данной непрерывной функции f(x) на
данном отрезке понимается
соответствующее приращение ее
первообразной, то есть
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Числа a и b – пределы интегрирования,
– промежуток интегрирования.
значений первообразной подынтегральной
функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
Введя обозначения для разности
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона – Лейбница.
обозначения переменной интегрирования, т.е.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
где x и t – любые буквы.
2)Определенный интеграл с одинаковыми
пределами
интегрирования равен нулю
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a3) При перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак на обратный
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(свойство аддитивности)
4) Если промежуток разбит на конечное число
частичных промежутков, то определенный интеграл,
взятый по промежутку , равен сумме определенных
интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
a
a
f (x)dx5)Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
6)Определенный интеграл от алгебраической
суммы конечного числа непрерывных
функций равен такой же алгебраической
сумме определенных интегралов от этих
функций.
интеграле.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a (), b (), (t)
где
для t [ ; ] , функции (t) и (t) непрерывны на;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Определение. Пусть функция f(x) определена на
бесконечном интервале , где b < + . Если
существует
b
lim
f (x)dx,
b
a
то этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x) на интервале
}
Основная литература
1. Шипачев В. С. Высшая математика. Базовый курс: учебник ипрактикум для бакалавров [Гриф Минобразования РФ] / В. С.
Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. - 8-е изд., перераб. и доп. Москва: Юрайт, 2015. - 447 с.
2. Шипачев В. С. Высшая математика. Полный курс: учебник
для акад. бакалавриата [Гриф УМО] / В. С. Шипачев; под ред. А.
Н. Тихонова. - 4-е изд., испр. и доп. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
с
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.
Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007. – 304+415c.
Отчетность
1.Контрольная работа. Выполняется в соответствии:
Задания и методические указания к выполнению контрольных работ
по дисциплине «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА», Екатеринбург, ФГАОУ
ВО «Российский государственный профессионально-педагогический
университет», 2016 - 30с.
Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера
зачетной книжки.
2.
Экзамен
Неопределенный интеграл, его свойства и вычисление Первообразная и неопределенный интеграл
Определение. Функция F x называетсяпервообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .Очевидно, если F x - первообразная
функции f x , то F x C , где C некоторая постоянная, также является
первообразной функции f x .
Если F x есть какая-либо первообразная
функции f x , то всякая функция вида
Ф x F x C также является
первообразной функции f x и всякая
первообразная представима в таком виде.Определение. Совокупность всех
первообразных функции f x ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .Если F x - некоторая первообразная функции
f x , то пишут f x dx F x C , хотя
правильнее бы писать f x dx F x C .
Мы по устоявшейся традиции будем писать
f x dx F x C .
Тем самым один и тот же символ
f x dx будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции f x ,
так и любой элемент этого множества.
Свойства интеграла
Производная неопределенного интеграла равнаподынтегральной функции, а его дифференциалподынтегральному выражению. Действительно:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
Свойства интеграла
3. Неопределенный интеграл отдифференциала непрерывно (x)
дифференцируемой функции равен самой
этой функции с точностью до постоянной:
d (x) (x)dx (x) C,
так как (x) является первообразной для (x).
Свойства интеграла
4.Если функции f1 x и f 2 x имеютпервообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .
1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
Таблица неопределенных интегралов
11.dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x
Свойства дифференциалов
При интегрировании удобно пользоватьсясвойствами: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3
Примеры
Пример. Вычислить cos 5xdx .Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
Примеры
Пример. Вычислить x3x x 1 dx .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
Независимость от вида переменной
При вычислении интегралов удобнопользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a
Пример
Вычислим1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Методы интегрирования Интегрирование по частям
Этот метод основан на формуле udv uv vdu .Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .
Примеры
Пример. Вычислить x cos xdx .Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Примеры
Пример. Вычислитьx ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C .
=
2
2
2
2 2
Метод замены переменной
Пусть требуется найти f x dx , причемнепосредственно подобрать первообразную
для f x мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интегралax b
dx ,
x px q
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом замены переменных,
предварительно выделив в
знаменателе полный квадрат.
2
Пример
Вычислитьdx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
Пример
Найти1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
Определенный интеграл, его основные свойства. Формула Ньютона- Лейбница. Приложения определенного интеграла.
К понятию определенного интеграла приводитзадача нахождения площади криволинейной
трапеции.
Пусть на некотором интервале задана
непрерывная функция y f (x) 0
Задача:
Построить ее график и найти F площадь фигуры,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a и x
= b, а снизу – отрезком оси абсцисс между точками
x = a и x = b.Фигура aABb называется
криволинейной трапецией
Определение
bf (x)dx
Под определенным интегралом
a
от данной непрерывной функции f(x) на
данном отрезке понимается
соответствующее приращение ее
первообразной, то есть
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Числа a и b – пределы интегрирования,
– промежуток интегрирования.
Правило:
Определенный интеграл равен разностизначений первообразной подынтегральной
функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
Введя обозначения для разности
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона – Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла.
1)Величина определенного интеграла не зависит отобозначения переменной интегрирования, т.е.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
где x и t – любые буквы.
2)Определенный интеграл с одинаковыми
пределами
интегрирования равен нулю
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a3) При перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак на обратный
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(свойство аддитивности)
4) Если промежуток разбит на конечное число
частичных промежутков, то определенный интеграл,
взятый по промежутку , равен сумме определенных
интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
a
a
f (x)dx5)Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.
6)Определенный интеграл от алгебраической
суммы конечного числа непрерывных
функций равен такой же алгебраической
сумме определенных интегралов от этих
функций.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
3. Замена переменной в определенноминтеграле.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a (), b (), (t)
где
для t [ ; ] , функции (t) и (t) непрерывны на;
5
Пример:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы.Определение. Пусть функция f(x) определена на
бесконечном интервале , где b < + . Если
существует
b
lim
f (x)dx,
b
a
то этот предел называется несобственным
интегралом функции f(x) на интервале
}