Поэтому сразу перейду к основным понятиям и практическим примерам.
Посмотрим на лаконичную картинку
И вспомним: что можно вычислить с помощью определённого интеграла ?
В первую очередь, конечно, площадь криволинейной трапеции . Знакомо со школьных времён.
Если же данная фигура вращается вокруг координатной оси, то речь уже идёт о нахождении объёма тела вращения . Тоже просто.
Что ещё? Не так давно была рассмотрена задача о длине дуги кривой .
И сегодня мы научимся рассчитывать ещё одну характеристику – ещё одну площадь. Представьте, что линия вращается вокруг оси . В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения . В данном случае она напоминает такой горшок без дна. И без крышки. Как бы сказал ослик Иа-Иа, душераздирающее зрелище =)
Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаю занудное, но важное уточнение:
с геометрической точки зрения наш «горшок» имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности .
В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:
или, если компактнее: 
.
К функции и её производной предъявляются те же требования, что и при нахождении длины дуги кривой
, но, кроме того, кривая должна располагаться выше
оси . Это существенно! Нетрудно понять, что если линия располагается под
осью , то подынтегральная функция будет отрицательной : 
, и поэтому к формуле придётся добавить знак «минус» дабы сохранить геометрический смысл задачи.
Рассмотрим незаслуженно обойденную вниманием фигуру:
Площадь поверхности тора
В двух словах, тор – это бублик . Хрестоматийный пример, рассматриваемый практически во всех учебниках по матану, посвящён нахождению объёма тора, и поэтому в целях разнообразия я разберу более редкую задачу о площади его поверхности . Сначала с конкретными числовыми значениями:
Пример 1
Вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности 
вокруг оси .
Решение
: как вы знаете, уравнение 
задаёт окружность
единичного радиуса с центром в точке . При этом легко получить две функции:
– задаёт верхнюю полуокружность;
– задаёт нижнюю полуокружность:
Суть кристально прозрачна: окружность
вращается вокруг оси абсцисс и образует поверхность
бублика. Единственное, здесь во избежание грубых оговорок следует проявить аккуратность в терминологии: если вращать круг
, ограниченный окружностью 
, то получится геометрическое тело
, то есть сам бублик. И сейчас разговор о площади его поверхности
, которую, очевидно, нужно рассчитать как сумму площадей:
1) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «синей» дуги 
вокруг оси абсцисс. Используем формулу 
. Как я уже неоднократно советовал, действия удобнее проводить поэтапно:
Берём функцию 
и находим её производную
:
И, наконец, заряжаем результат в формулу:
Заметьте, что в данном случае оказалось рациональнее удвоить интеграл от чётной функции по ходу решения, нежели предварительно рассуждать о симметрии фигуры относительно оси ординат.
2) Найдём площадь поверхности, которая получается вращением «красной» дуги 
вокруг оси абсцисс. Все действия будут отличаться фактически только одним знаком. Оформлю решение в другом стиле, который, само собой, тоже имеет право на жизнь:
3) Таким образом, площадь поверхности тора:
Ответ :
Задачу можно было решить в общем виде – вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением окружности вокруг оси абсцисс, и получить ответ 
. Однако для наглядности и бОльшей простоты я провёл решение на конкретных числах.
Если вам необходимо рассчитать объём самого бублика, пожалуйста, обратитесь к учебнику, в качестве экспресс-справки: 
Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что 
на данном промежутке), таким образом:
Ответ :
Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.
Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)
Пример 4
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .
Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.
График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.
Решение и ответ в конце урока.
Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.
Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?
Если кривая задана в полярных координатах
уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле 
, где – угловые значения, соответствующие концам кривой.
В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция 
, а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше
полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.
Пример 5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).
Поверхность вращения будет напоминать яблочко.
Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:
Составим и упростим корень:
Надеюсь, с заштатными
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг оси , рассчитывается по формуле 
. При этом «направление прорисовки» линии, о которое было сломано столько копий в статье , безразлично. Но, как и в предыдущем пункте, важно чтобы кривая располагалась выше
оси абсцисс – в противном случае функция , «отвечающая за игреки», будет принимать отрицательные значения и перед интегралом придётся поставить знак «минус».
Пример 3
Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности вокруг оси .
Решение : из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии вы знаете, что уравнения задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.
Ну а сфера , для тех, кто забыл, – это поверхность шара (или шаровая поверхность ).
Придерживаемся наработанной схемы решения. Найдём производные:
Составим и упростим «формульный» корень:
Что и говорить, получилась конфетка. Ознакомьтесь для сравнения, как Фихтенгольц бодался с площадью эллипсоида вращения .
Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что 
на данном промежутке), таким образом:
Ответ :
Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус.
Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =)
Пример 4
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси .
Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования.
График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби.
Решение и ответ в конце урока.
Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат . Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача.
Как вычислить площадь поверхности вращения,
если линия задана в полярной системе координат?
Если кривая задана вполярных координатах
уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле 
, где – угловые значения, соответствующие концам кривой.
В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция 
, а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше
полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.
Пример 5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение : график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием).
Поверхность вращения будет напоминать яблочко.
Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»:
Составим и упростим корень:
Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами
ни у кого не возникло затруднений.
Используем формулу:
На промежутке 
, следовательно: 
(о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой
).
Ответ
: 
Интересное и короткое задание для самостоятельного решения:
Пример 6
Вычислить площадь шарового пояса ,
Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется шаровым слоем , а ограничивающая её поверхность (оранжевая кожура) – шаровым поясом .
Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами
, легко представили чертёж задачи: уравнение задаёт окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучи
отсекают меньшую
дугу. Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс.
Теперь можно с чистой совестью и лёгким сердцем съесть апельсинку, на этой вкусной ноте и завершим занятие, не портить же вам аппетит другими примерами =)
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение
: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви
вокруг оси абсцисс. Используем формулу
.
В данном случае:
;
Таким образом:
Ответ
:
Пример 4:
Решение
: используем формулу
. Первая арка циклоиды определена на отрезке
.
Найдём производные:
Составим и упростим корень:
Таким образом, площадь поверхности вращения:
На промежутке
, поэтому
Первый интеграл
интегрируем по частям
:
Во втором интеграле используем
тригонометрическую формулу
.
Ответ
:
Пример 6:
Решение
: используем формулу:
Ответ
:
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как вычислить определенный интеграл
по формуле трапеций и методом Симпсона?
Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона .
Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом.
Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком.
Вычислить определенный интеграл
Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм
. А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :
Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:
1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой . Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоитлишь в том , чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.
2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью . Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, что если получен приближенный ответ 5,347, то все цифры должны быть железобетонно правильными . А точнее говоря, ответ 5,347 должен отличаться от истины по модулю (в ту или другую сторону) не более чем на 0,001.
Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:
Метод прямоугольников
. Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура (гистограмма
), которая по площади близка к искомой площади:
Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов.
В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка:
. Очевидно, что чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. Метод прямоугольников даёт грубое приближение площади, видимо, поэтому очень редко встречается на практике (припомнил только один практический пример). В этой связи я не буду рассматривать метод прямоугольников, и даже не приведу простую формулу. Не потому, что лень, а по причине принципа моего решебника: что крайне редко встречается в практических задачах, то – не рассматривается.
Метод трапеций
. Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной
линией:
Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.
Метод Симпсона (метод парабол) . Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала).
Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.
Пример: Найти объем шара радиуса
R .В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q (x ) = .
Получаем объем шара:
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S .
 |
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x / H , где х - расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда получаем функцию площадей сечений:
Находим объем пирамиды:
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x ). Предположим, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a , b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемоетело вращения .
y
=
f
(x
)
Площадь поверхности тела вращения.
М
i
B
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна D P i . Эта площадь может быть найдена по формуле :
Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!
Сегодня мы продолжим учиться материализации предметов. В прошлый раз мы вращали плоские фигуры и получали объёмные тела. Некоторые из них - очень даже заманчивые и полезные. Думаю, что многому, что изобретает маг, можно в дальнейшем найти применение.
Сегодня мы будет вращать кривые. Понятно, что таким образом мы можем получить какой-то предмет с очень тонкими гранями (колбочка или флакон для зелий, ваза для цветов, стакан для напитков и т.п.), потому как вращающаяся кривая именно такого рода предметы и может сотворить. Другими словами, вращением кривой мы можем получить какую-то поверхность - замкнутую со всех сторон или нет. Почему прямо сейчас вспомнилась дырявая чаша, из которой всё время пил сэр Шурф Лонли-Локли.
Вот мы и сотворим дырявую чашу и недырявую, и подсчитаем площадь сотворённой поверхности. Думаю, для чего-то она (вообще площадь поверхности) ведь будет нужна - ну хотя бы для нанесения специальной магической краски. А с другой стороны, площади магических артефактов могут потребоваться для расчёта приложенных к ним магических сил или ещё чего-то. Мы научимся это находить, а уж где применить - найдём.
Итак, форму чаши вполне нам может дать кусок параболы. Возьмём самую простейшую y=x 2 на промежутке . Видно, что при вращении её вокруг оси OY получается как раз чаша. Без дна.
Заклинание для расчёта площади поверхности вращения выглядит следующим образом:
Здесь |y| - это расстояние от оси вращения до любой точки кривой, которая вращается. Как известно, расстояние - это перпендикуляр.
Немного труднее со вторым элементом заклинания: ds - это дифференциал дуги. Эти слова нам ничего не дают, поэтому не будем заморачиваться, а перейдём на язык формул, где этот дифференциал явно представлен для всех известных нам случаев:
- декартовой системы координат;
- записи кривой в параметрическом виде;
- полярной системы координат.
Для нашего случая расстояние от оси вращения до любой точки на кривой равно х. Считаем площадь поверхности получившейся дырявой чаши:
Чтобы сделать чашу с дном, нужно взять ещё кусочек, но другой кривой: на интервале это линия y=1.
Ясно, что при её вращении вокруг оси OY получится донышко чаши в виде круга единичного радиуса. И мы знаем, как считается площадь круга (по формуле пи*r^2. Для нашего случая площадь круга будет равна пи), но вычислим его по новой формуле - для проверки.
Расстояние от оси вращения до любой точки этого кусочка кривой также равно х.
Ну вот, расчёты наши верны, что радует.
А теперь домашнее задание .
1. Найти площадь поверхности, полученной вращением ломаной ABC, где A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), вокруг оси ОХ.
Совет. Записать все отрезки в параметрическом виде.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Кстати, на что похож получившийся предмет?
2. Ну а теперь придумайте что-то сами. Трёх предметов, думаю, хватит.