Пример 1 . Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х 2 ;
S / (х)=10-2х; S / (х)=0; х=5;
По условию задачи х (0;10)
Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см 2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;
Пример 2. Участок, площадью 2400м 2 , надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Решение: Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+ ;
Р / (х)= 3- ; Р / (х)=0;3х 2 =4800;х 2 =1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая =60м.
Пример 3. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в 1 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет ( -2х)м, площадь S(х)= ( -2х)х = х -2х 2 ;
S / (х)= -4х; S / (х)=0; -4х; х = ;
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0; )и на промежутке ( ; ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = м, вторая -2х= м;
Пример 4. Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?
Решение: Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х 3 -260х 2 +4000х;
V / (х)=12х 2 -520х+4000; V / (х)=0; 12х 2 -520х+4000=0; х 1 =10; х 2 =
По условию задачи х (0; 25); х 1 (0; 25), х 2 (0;25)
Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.
Пример 5. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х 2 ;
S / (х)= 20 -4х; S / (х)=0; 20 -4х =0; х = =5;
По условию задачи х (0; 10)
Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;
Пример 6 . Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м 2 , при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
Решение:
Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет м, Р(х)=2х+ ;
Р / (х)=2- ; Р / (х)=0;2х 2 =4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи.
По условию задачи х (0; )
Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая =3м.
Пример 7. Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
«Применение производной к решению задач»
(10 класс)
Методическая система деятельности учителя на данном уроке предполагает формирование умения учащихся самостоятельно планировать и выполнять поэтапно исследовательскую работу. Ученик имеет право консультироваться с учителем, дискутировать, получать от учителя советы или подсказки с целью помочь ребенку разобраться в многообразии способов решения и определить верный.
На уроке проводится обсуждение теоретического материала, класс делится на группы для обеспечения разнообразия предлагаемых ими способов рассуждений с последующим отбором наиболее приемлемых из них.
Наряду с самостоятельной деятельностью целесообразно на уроке использовать дифференцированные задания разного уровня и соответственно их оценивать.
Анализ результатов выполнения этих задач учащимися, кроме информации об их усвоении, даёт учителю картину главных затруднений учащихся, их основных пробелов, что помогает наметить основные пути решения проблем.
Цель урока: усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия, используя исследовательский метод.
Задачи:
Учебно-познавательная: закрепление, систематизация и обобщение знаний и умений, связанных с овладением понятием «наибольшее и наименьшее значение функции»; практическое применение формируемых умений и навыков.
Развивающая: развитие умений самостоятельно работать, ясно выражать мысль, проводить самооценку учебной деятельности на уроке.
Коммуникативные : умение участвовать в дискуссии, слушать и слышать.
Ход урока
Организационный момент
1. Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику.
Повторение
Среди задач математики важную роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.
Закрепление изученного материала
2. К доске вызываются два «сильных» ученика решать задания (10 мин.).
1-й ученик: Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем которого равен 108 см 3 . При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
Решение: Обозначим сторону основания через х см, выразим высоту параллелепипеда. Найдем знак производной на промежутках. Производная меняет знак с «–» на «+». Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см 2 – наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота – 12 см.
2-й ученик: В окружность радиусом 30 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда выразим площадь прямоугольника. Найдем знак производной на промежутке (0;30) и на промежутке (30;60). Производная меняет знак с «+» на «–». Отсюда х=30 – точка максимума. Следовательно, одна сторона прямоугольника – 30, вторая – 30.
3. В это время выпо лняется взаимопроверка по теме «Применение производной» (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл). Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте.
Вопросы записаны на переносной доске, дается только ответ:
Функция называется возрастающей на данном промежутке, если…
Функция называется убывающей на данном промежутке, если…
Точка х 0 называется точкой минимума, если…
Точка х 0 называется точкой максимума, если…
Стационарными точками функции называют точки…
Написать общий вид уравнения касательной
Физический смысл производной
Делаем выводы
4. Класс делится на группы. Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.
5. Предоставляется слово «сильным» ученикам. Учащиеся класса проверяют свои решения (10 мин.).
6. Выдаются задачи по выбору для каждой группы (10 мин.).
1 группа.
На отметку «3»
Для функции f(х)=х 2 *(6-х) найти наименьшее значение на отрезке .
Решение: f(х)=х 2 *(6-х)=6х 2 +х 3 ; f / (х)=12х-3х 2; f / (х)=0; 12х-3х 2 =0; х 1 =0; х 2 =4;
f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max.
На отметку «4»
Из проволоки длиной 20 см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х) см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х 2 ; S / (х)=10-2х; S / (х)=0; х=5. По условию задачи х (0;10). Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с «+» на «–». Отсюда: х=5 – точка максимума, S(5)=25 см 2 – наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника – 5 см, вторая – 10-х=10-5=5 см.
На отметку «5»
Участок площадью 2400 м 2 надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.
Решение: Обозначим одну сторону участка через х м, запишем длину изгороди и найдём производную Р / (х)=0; 3х 2 =4800; х 2 =1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.
Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40;?). Производная меняет знак с «–» на «+». Отсюда х=40 – точка минимума, следовательно, Р(40)=240 – наименьшее значение, значит, одна сторона равна 40 м, вторая – 60 м.
2 группа.
На отметку «3»
Для функции f(х)=х 2 +(16-х) 2 найти наименьшее значение на отрезке .
Решение: f / (х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f / (х)=0; 4х-32=0; х=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min.
На отметку «4»
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в м надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
На отметку «5»
Из прямоугольного листа картона со сторонами 80 см и 50 см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?
Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х) см, вторая – (50-2х) см, объем V(х)=х(80-2х)(50-2х)=4х 3 , 260х 2 +4000х; V / (х)=12х 2 -520х+4000; V / (х)=0; 12х 2 -520х+4000=0.
По условию задачи х (0;25); х 1 (0;25), х 2 (0;25).
Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10;25). Производная меняет знак с «+» на «–». Отсюда х=10 – точка максимума. Следовательно, высота коробки =10 см.
3 группа.
На отметку «3»
Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке .
Решение: f(х)=х*(60-х)=60х-х 2 ; f / (х)=60-2х; f / (х)=0; 60-2х=0; х=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max.
На отметку «4»
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20-2х) м, площадь S(х)=(20-2х)х=20х-2х 2 ; S / (х)=20-4х; S / (х)=0; 20-4х=0; х=5. По условию задачи х € (0;10). Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10). Производная меняет знак с «+» на «–». Отсюда х=5 – точка максимума. Следовательно, одна сторона участка =5 м, вторая – 20-2*5=10 м.
На отметку «5»
Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м 2 , при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.
Обозначим глубину канавы через х м, Р / (х)=0; 2х 2 =4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи. Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5;?). Производная меняет знак с «–» на «+». Отсюда х=1,5 – точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6 м – наименьшее значение, значит, одна сторона канавы – 1,5 м, вторая – 3 м.
4 группа.
На отметку «3»
Для функции f(х)=х 2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке .
f(х)=х 2 (18-х)=18х 2 -х 3 ; f / (х)=(18х 2 -х 3) / ; f / (х)=0; 36х-3х 2 =0; х 1 =0; х 2 =12 f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max.
На отметку «4».
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200 м надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.
Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200-2х) м, площадь S(х)=(200-2х)х=200х-2х 2 ; S / (х)=200-4х; S / (х)=0; 200-4х=0; х=200/4=50. По условию задачи х (0;100). Найдем знак производной на промежутке (0;50) и на промежутке (50;100). Производная меняет знак с «+» на «–». Отсюда х=50 – точка максимума. Следовательно, одна сторона участка=50 м, вторая – 200-2х=100 м.
На отметку «5»
Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300 см 2 .
Обозначим одну сторону основания через х см и выразим объём, тогда V / (х)=0 300-3х 2 =0; х 2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи.
Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10;0). Производная меняет знак с «–» на «+». Отсюда х=10 – точка минимума, следовательно, V(10)=500см 3 – наименьшее значение, значит, сторона основания – 10 см, высота – 50 см.
Вопросы к классу
7. Делегаты от групп объясняет решение выбранных задач (10 мин.).
8. С учетом баллов в разминке и работе в группах выставляются отметки за урок.
Подведение итога урока
Домашнее задание
Решение задачи на балл выше; учащиеся, выполнившие задачу на «5», освобождаются от домашней работы.
Анализ результатов выполнения этих задач учащимися, кроме информации об их усвоении, даёт учителю картину главных затруднений учащихся, их основных пробелов, что помогает наметить основные пути их ликвидации.
| ФОМКИНА ТАТЬЯНА ФЕДОРОВНА |
ВИЗИТНАЯ КАРТОЧКА |
|
Должность | Учитель русского языка и литературы |
Место работы | Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №9» города Оренбурга |
Стаж работы в должности | |
Конкурсный балл | |
Тема педагогического опыта | Формирование лингвистической компетентности учащихся на основе деятельностно-системного подхода в обучении русскому языку по УМК С.И. Львовой |
Сущность методической системы учителя, отражающей ведущие идеи опыта | Сущность методической системы учителя – в организации учебной деятельности как движения от вопроса лингвистического характера (позволяющего обратить внимание учащихся на содержательную языковую сущность того или иного орфографического написания) к способу действия (на основе правила, обращения к словарю), а потом – к результату (свободному оперированию правилами в ходе письма или использованию орфографического словаря). |
Работа по распространению собственного опыта, представление методической системы на различных уровнях (формы, интеллектуальные продукты) | Опыт работы Фомкиной Т.Ф. обобщен в 2009 году на уровне МО МОУ «СОШ №9» и одобрен методическим советом. В 2009 и 2010 гг. представлен среди учителей города Оренбурга на муниципальном уровне. Татьяна Фёдоровна выступала на окружных методических объединениях по вопросам: «Использование ИКТ на уроках русского языка и литературы как средство формирования лингвистической компетентности», «Деятельностный подход к построению образовательных стандартов». |
Результативность реализации методической системы | Формирование устойчивой положительной мотивации и повышение интереса учащихся к предмету; Положительная динамика в отношении учащихся к учителю, урокам русского языка и литературы, развитие способности учащихся к прогностической деятельности и активизация процессов познания; Значительный рост качества творческих работ, сочинений, что подтверждается результатами выпускных экзаменов: в 2007 году по результатам ГИА успеваемость – 100%, количество справившихся с заданиями на «4» и «5» – 87%; в 2008 году по результатам ЕГЭ успеваемость – 100%, количество справившихся с заданиями на «4» и «5» – 92%, наивысший бал – 87; в 2009 году по результатам ЕГЭ успеваемость – 100%, количество справившихся с заданиями на «4» и «5» – 58%, наивысший бал – 96; Увеличение количества учащихся, принимающих участие в научно-практических конференциях, конкурсах, олимпиадах: X окружная научно-практическая конференция учащихся «Ты – Оренбуржец» (III место), XV городская конференция учащихся «Интеллектуалы XXI века» (диплом за «Разностороннее исследование семьи»), Всероссийский заочный конкурс «Познание и творчество», 2010 г. (III место, лауреат), областной очно-заочный конкурс «Отечество», 2009 г. (III место), VI Международная олимпиада по основам наук, 2010 г. (дипломы I и II степени), Международная игра-конкурс «Русский медвежонок», 2010 г. (15-е место по региону). Мониторинг образовательной деятельности показывает высокий уровень обученности учащихся Фомкиной Татьяны Федоровны: русский язык – 69% (2009 г.), литература – 77% (2009 г.). |
МАТЕРИАЛЫ ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Урок усвоения новых знаний
с разноуровневой дифференциацией обучения
«НЕ с существительными»
(5 класс)
Представленный конспект урока составлен в соответствии с «Программой по русскому языку для 5-6 классов» С.И. Львовой (М.; «Мнемозина», 2008 г.). Урок направлен на формирование лингвистической, языковой и речевой компетентности учащихся. Материал, включенный в урок, носит обучающий, развивающий, воспитывающий характер.
Задачи урока:
1) развивать коммуникативные умения: формулировать вопрос и давать ответ на грамматическую тему; осуществлять речевое взаимодействие в мобильной группе; создавать собственные тексты на заданную тему;
2) формировать лингвистическую и языковую компетенцию: знать правило правописания НЕ с существительным ;уметь с помощью алгоритма применять данное правило на практике; повторить орфограмму « НЕ с глаголом» , правило об имени существительном;
3) воспитывать бережное отношение к слову как духовной ценности народа.
Оборудование: мультимедийное оборудование, видеопрезентация, опорные карточки, тест, файлы с исследовательским заданием.
Ход урока
Организационный момент
Здравствуйте, уважаемые коллеги! Да-да, именно коллеги. Я, ребята, назвала вас так не случайно. Сегодня мы будем заниматься общим делом: решать лингвистические задачи, открывать тайны написания слов. Ведь, по утверждению Льва Николаевича Толстого, «Слово – дело великое… Словом можно служить любви, словом же можно служить вражде и ненависти» (эпиграф к уроку).
Лингвистическая разминка «Да – нет»
Вот навык владения словом и поможет вам справиться с лингвистической разминкой, которая называется «Да – нет». Правила этой разминки таковы: я загадала правило, а вы попытаетесь отгадать его, задавая наводящие вопросы, которые должны быть сформулированы таким образом, чтобы я могла ответить словами «да» или «нет». Оценивать ваши ответы сегодня я буду жетонами. Задавайте мне вопросы.
Ученики задают учителю вопросы. Например:
1. Это правило мы учили в 5 классе? (Да)
2. Это правило о правописании слов? (Нет)
3. Это правило о частях речи? (Да)
4. Это правило об имени существительном? (Да)
– Молодцы! Отгадали!
Актуализация знаний
А теперь давайте вспомним, что же такое имя существительное. Но расскажем о нём по цепочке, передавая друг другу эстафету, как спортсмены на соревнованиях. Кто хочет, может воспользоваться при ответе карточками-помощниками . Оценивать ваши ответы я буду жетонами (ответы учащихся).
Отлично справились! Знание правила об имени существительном нам нужно для того, чтобы уметь отличать существительные от других частей речи.
Это умение мы проверим, выполнив устный распределительный диктант .
Прочитайте внимательно слова (по щелчку мыши на экране проектора изображение выцветает).
Но что это? Что случилось с изображением? Ребята, там ошибка!
Ловите её! (Приём «Лови ошибку»)
«Негодовать» надо писать слитно. Почему?
Это глагол, который не употребляется без НЕ .
(Щелчок мышью)
Задание: разделите слова на две группы по частям речи. (Учащиеся выполняют задание)
1. Какие части речи вам встретились? (Существительные и глаголы)
2. Назовите существительные.
3. Назовите глаголы.
4. Как пишется НЕ с глаголом?
Целеполагание
Итак, знание правила об имени существительном и о правописании НЕ с глаголом поможет нам справиться с новой темой, которая звучит так: «НЕ с существительными» .Запишите её в тетрадь.
Ход наших мыслей я записала в «Мыслительный лист» , который состоит из трёх граф: «Знаю», «Хочу узнать», «Узнал(а)».
В графе «Знаю» дано правило, на которое мы сегодня будем опираться. Это правило о написании НЕ с глаголом.
В графе «Хочу узнать» сформулирован вопрос дня: «Выяснить, когда НЕ с существительным пишется слитно, а когда – раздельно».
В графе «Узнал(а)» мы запишем ответ на этот вопрос.
Но сначала выполним словарную работу .
Ребята, а кто такие невежа и невежда? Каких людей мы так называем? (Ответы учеников)
Запишите в тетрадь эти слова и их лексические значения. А теперь составьте с ними словосочетания или предложения (по выбору).
Изучение нового материала
Как вы думаете, ребята, почему слова «невежа» и «невежда» пишутся слитно? (Потому что не употребляются без НЕ) Доклад
Победителями приоритетного национального проекта «Образование» . Полученный опыт самоанализа, сравнения собственных достижений с достижениями коллег принес новую педагогическую ...
Опыт создания интернет-ресурсов педагогами оренбуржья
Автореферат диссертацииСистемы образования в образовательном учреждении; выявление сферы распространения передового педагогического опыта ... общеобразовательная школа» стала победителем конкурсного отбора в рамках Приоритетного национального проекта «Образование» . В...
Разделы: Математика
Цель урока:
- Обобщение и систематизирование полученных знаний.
- Расширение представлений учащихся о решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения.
Ход урока
1 Этап урока
Вступление учителя: каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой – либо задачи.
Например: инженеры–технологи стараются так организовать производство, чтобы получить как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать приборы на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей и т.д.
Можно сказать, что задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения имеют практическое применение.
В доказательстве своих слов я хочу привести из рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавших землю у башкирцев.
- А цена, какая будет? – говорит Пахом.
- Цена у нас одна: 1000 р. за день.
Не понял Пахом.
- Какая же это мера - день? Сколько в ней десятин будет?
- Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 р.
Удивился Пахом.
- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
- А как же, - говорит Пахом, - отметить, где я пройду?
- А мы станем на место, где ты облюбуешь; мы стоять будем, а ты иди, делай круг, а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, на углах ямки рой, дернички клади; потом с ямки на ямку плугом пройдем. Какой хочешь круг забирай, только до захода солнца приходи к тому месту, с какого взялся. Что обойдешь, все твое.
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке. Что это за фигура? (Прямоугольная трапеция)
Вопрос: Как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом. (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)? Сегодня на уроке мы это выясним.
Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить какие этапы содержаться при решении экстремальных задач?
- Задача переводится на язык функции.
- Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение.
- Выяснить какой практический смысл имеет полученный результат.
Задача №1 (Решим всем классом)
Периметр прямоугольника 120 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей.
Возвращаемся к задаче, с которой начали урок. Наибольшую ли площадь получил Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму четырехугольника)? С учащимися обсуждаем, какую наибольшую площадь мог получить Пахом.
2 Этап урока
По зарание на доске написанным задачам идет объяснение (их две).
Задача №1
Найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшей.
Обращаю внимание ребят, что у нас в стране выпускаются сотни миллионов банок и сэкономленный расход жести хотя бы на 1 % позволит дополнительно выпускать миллионы банок.
Задача №2
Лодки находятся на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. В пункте В, находящемся на расстоянии 5 км от А, пожар. Лодочник желает прийти на помощь, поэтому ему нужно попасть туда в кротчайшее время. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир 5 км/ч. К какому пункту берега должен причалить лодочник?
3 Этап урока
Работа по группам с последующей защитой задач.
Задача №1
Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Сумма длин ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда равны 12. Найдите его наибольший возможный объем.
Задача №2
Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 240 дм 3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Основание подставки, которое будет вмонтировано в пол, является прямоугольником. Длина прямоугольника втрое больше ширины. Задняя более длинная стенка подставки будет вмонтирована в стену цеха. При монтаже подставки ее стенки, не вмонтированные в пол или в стену, соединяются между собой с помощью сварки. Определите размеры подставки, при которой общая длина сварочного шва будет наименьшей.
Задача №3
Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 30 см.
Задача №4
Из прямоугольного листа картона со сторонами 80 см и 50 см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим. Найти этот объем.
4 Этап урока
Решение задач на оценку по выбору.
Задача №1
Из проволоки длинной 80 см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.
Задача №2
Сумма длин ребер правильной треугольной призмы равен 18√3. Найти наибольший возможный объем такой призмы.
Задача №3
Диагональ прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого является квадратом, равна 2√3. Найдите наибольший возможный объем такого параллелепипеда.
5 этап урока
Хрестина Надежда Михайловна,педагог по развивающей работе с детьми НОУ ДОД «ДРЦ «Страна чудес», г. Рязань[email protected]
Применение элементов ТРИЗ на уроках математики
Аннотация. В статье рассматривается применение на уроках математики элементов структуры креативного урока в инновационной педагогической системе НФТМТРИЗ. Автором предлагается методическая разработка урока математики в 5 классе, где продемонстрировано,как можно развивать творческие способности учащихсяв рамках школьной программы. Ключевые слова: универсальные учебные действия,творческое мышление, системнодеятельностный подход,креативный урок, рефлексия.
Математика –это наука, которая жизненно необходима всем. С самого маленького возраста ребенка окружает мир цифр, форм и т.д.И в тоже время, этот мир очень сложен и многогранен. Многие дети, сталкиваясь с трудностями в изучении материала, теряют интерес к предмету и «незнание» накапливается,как снежный ком. Поэтому перед учителемвстаёт проблема: не только научить, но и привить интерес, а значит,дать ребенку инструменты для самостоятельного освоения новых знаний (универсальные учебные действия).Задача педагога –сделать урок интересным, захватывающим, используя разнообразные методы обучения, системно развивать в ребенке творческое мышление, умение работать с проблемой и решать ее, делать выводы, искать новые оригинальные подходы, видеть красоту получившихся результатов.Посыл к этому –ФедеральныйГосударственный ОбразовательныйСтандарт(ФГОС)основного общего образования от 17 декабря 2010 .В его основу положен системнодеятельностныйподход, с ценностью свободной и ответственной личностиучащегося. Стандарт диктует нам уход от классноурочной системы Яна Амоса Коменского, в которой учитель является «рассказчиком», а учащиеся –«пересказчиками».Новые типы урока, такие как: «мозговой штурм», диспут, проектная деятельность, помогут ребенку в постоянно меняющемся мире.Какие жерезультатыдолжен получить учительв итоге своей работы?Учителю необходимо воспитать в учащемся патриотизм, любовь к родине, истории, языку и культуре своего народа;сформировать ответственное отношение к учению, быть способнымк саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, осознанному выбору профессии; сформировать коммуникативную компетентность; умение ставить цели, искать пути их достижения,владеть основами самоконтроля и т.д.Атакже,учащийсядолженвладеть достаточными знаниями и компетенциями, уметь отвечать за свои действия и их последствия, уважать закон, бытьсвободным и ответственным, толерантнымгражданином.Движение вперед науки и техники приводит к увеличению числа изобретений и новых профессий, ученик долженбыть готовк постоянно меняющимся запросам рынкатруда.Выше сказанное позволяет сделать вывод, что учителю, чтобы добиться всех этих результатов,надо не просто передавать знания, он должен «научить учиться».Учитель, идя на урок, должен понимать, что предметные результаты теперь не единственные главные, ему также необходимо сформироватьличностные и метапредметные. Сама формулировка результатов изменилась, так как ребенок теперь должен овладеть способами действий, т.е. универсальными учебными действиями, которые и являются метапредметными результатами. Только совокупность универсальных действий даст возможность сформировать у ученика умение учиться,как систему.Одним из помощников для учителя в планированииурокапо ФГОСстала технологическая карта урока. Она дает возможность наглядно проследить,как и на каком этапе формируются те или иные универсальные учебные действия. Для достижения целей учителю может помочь использованиеэлементов креативнойпедагогической системы непрерывного формирования творческого мышления (НФТМ), в которой есть инструменты теории решения изобретательских задач (ТРИЗ).Это позволяет развить у учащихся творческое воображение и фантазию, системное и диалектическое мышление.Применение структуры креативного урока в школе, позволяет сделать урок ярче, менее стрессовым для ребенка, держать ребенка в концентрации все занятие, а главное,не предоставитьему готовые знания, а дать возможность получить их самим.Также важным вопросом является частичный переход от задач закрытого типа к задачам открытого типа.Задачи открытого типа,затрагивающие повседневный опыт учащихся, заставляют учеников задумываться уже при прочтении условия, так как оно является недостаточным, «размытым», может содержать избыток информации. Разнообразие методов решения приводит к разрушению психологической инерции –привычке к стандартным действиям в знакомой ситуации или стремление думать и действовать в соответствии с накопленным опытом.Набор возможных ответов помогает научить ребенка рефлексии и самооценки.Нельзя говорить о полном отказе от закрытых задач. Они хороши в малых количествах, когда просто надо «набить руку»на конкретной формуле или свойстве. Но объяснение нового материала не может быть без проблемы. Ведь первый вопрос после прочтения темы на уроке в голове у детей: «А зачем мне это?» или «А где мне это пригодится?»Все выше сказанное дает нам система НФТМ –непрерывное формирование творческого мышления и развитие творческих способностей детей.Представляю урокпо математике 5 класс, с элементами структуры креативного урока в инновационной педагогической системе НФТМТРИЗ.Технологическая карта урока математики в 5 классе по теме «Площадь прямоугольника. Единицы площади»Тип урока:Урок изучения нового материала.Цели урока: 1. Предметные: сформировать у учащихся представление о площади фигуры, установить связи между единицами измерения площади, познакомить учащихся с формулами площади прямоугольника и квадрата.2. Личностные: формировать умение определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией.3. Метапредметные: формировать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, в окружающей жизни.Планируемые результаты:
учащиеся получат представление о площади фигур и ее свойствах, научатся устанавливать связи между единицами измерения площади, применять формулы площади прямоугольника и квадрата;получатумения анализировать, сравнивать, обобщать,делать выводы;учащиеся разовьют познавательный интерес через игровые моменты «маленького чуда»;получат коммуникативные навыки работы в группе и парах.Учебник: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.Математика 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 2014.
Этапы урокаЗадачи этапаДеятельность учителяДеятельность учащихсяУУД1.МотивацияСоздать благоприятный психологический настрой на работу, мотивацию учащихся к занятию.Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.Фокус с игровыми костями: сначала в прозрачном футляре 1 большая кость, после удара о крышку футляра в нем появляется 8 маленьких.–Как это произошло?–Чем мы занимались на прошлом уроке?–Сегодня мы продолжим работу с прямоугольниками.Включаются в деловой ритм урока.
Ребята пробуют разгадатьфокус.Активизируют знания прошлого урока.
Личностные: самоопределение.Регулятивные: самоорганизация.Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.Познавательные:навыки исследовательской деятельности.2.Содержательная часть.Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы: площади прямоугольника.Картинки выводимна мультимедиа проекторе.Проблема.У соседей раздор. Хозяину синего участка, чтобы попасть на свой огород, надо проходить по красному участку соседа. Что делать?Вход на участки
Рис.1Из опыта мы знаем, что равные земельные участки имеют равные площади.–Какой вывод мы может сделать? Проблема.Мужчина решил покрасить пол у себя на даче. Но пол имеет необычную форму. Но он не знает, сколько надо краски, на банке с краской написано 100гр на 1м2. Площадь меньшей фигуры12м2, площадь большей –20м 2.Что делать?
Выдвигают версии урегулирования спора. Вместе с учителем выбирают верную: надо синему взять кусок земли красного, а емувзаменотдать равновеликий.
Делают вывод: равные фигуры имеют равные площади.Ребята выдвигают версии, вместе выбираем правильную: надо сложить площади двухфигур и найти расход краски.Учащиеся сами выводят второе свойство: Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.Личностные: самоопределение.Регулятивные: развитие регуляции учебной деятельности.Коммуникативные: умение работать в коллективе, слышать и уважать мнение других, умение отстаивать свою позицию.Познавательные:навыки исследовательской деятельности.Развитие творческого мышления.
Рис.2Эвристическая беседа сэлементами метода проб и ошибок. На столе у учителя лежит линейка, циркуль, транспортир.Мы говорили про площадь, а как нам можно ее измерить? Давайте измерим площадь нашей доски.–Что у нас есть для измерения отрезков?–Что есть для измерения углов?Делаем вывод: за единицу измерения площади выбираем квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Как мы назовем такой квадрат? Чтобы измерить площадь надо подсчитать,сколько единичных квадратов в нее помещается?
Ребята перебирают все возможные инструменты, приходят к выводу, что их не достаточно.
–Линейка, единичный отрезок–Транспортир, единичный угол.–Единичный.Один из учеников выходит к доске, считает,при помощи заранее приготовленного единичного квадратасо стороной 1 м, площадь доски.Двараза поместился единичный квадрат значит площадь доски 2 м 2 .В тетради записываем тему урока: «Площадь прямоугольника».3.Психологическая разгрузка.Дать возможность учащимся сменить вид деятельности. Задачки на развитие творческих способностей.Ориентация в пространстве.1.Пара лошадей пробежала 20 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? (20 км)2.В клетке находились4 кролика. Четверо ребят купили по одному из этих кроликов и один кролик остался в клетке. Как это могло получиться? (Одного кролика купили вместе с клеткой)3.В двух кошельках лежат две монеты, причем,в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Кактакое может быть? (Один кошелек лежит внутри другого)Класс разбивается на группы по 6 человек, в группах учителем выбирается капитан, который после обсуждения проблемы выбирает правильный ответ. На обсуждение дается 1 минута.
Личностные: самоопределение.Регулятивные:развитие регуляции учебной деятельности.Коммуникативные: взаимодействие с партнерами по совместной деятельности.Познавательные:навыки исследовательской деятельности.Развитие творческого мышления.
4.Два сына и два отца съели 3 яйца. Сколько яиц съел каждый? (По одному яйцу каждый).Играшутка: «Дотроньтесь до правого уха соседа слева локтем левой руки»4.Головоломка.
Представить систему усложняющихся головоломок, воплощенных в реальных объектах.Самостоятельное решениезаданий.1.Сколько сантиметров в: 1 дм, 5м 3дм, 12дм 5см;2.Сколько метров в: 1 км, 4км 16 м, 800 см.3.Лодка за 5 чпрошла 40 км. За сколько часов она пройдет с той же скоростью 24 км?4.Какую цифру надо поставить вместо звездочек 1*+3*+5*=111, чтобы получилось верное равенство?5.Заполни магический квадрат10
Правильные ответы.
Рис.3В тетради записывают только ответы, затем меняются тетрадями с соседом по парте и проверяют друг у друга. В конце на экране появляются правильные ответы.Личностные: смыслообразование.Регулятивные:саморегуляция эмоциональных и функциональных состояний, самоорганизация.Коммуникативные: умение работать впарах.Познавательные:навыки поиска решения проблем. Развитие творческого мышления.
5.Интелектуальная разминка.Развить логическое мышление и творческие способности.1.Сторона прямоугольного листа бумаги имеет целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 12 см2. Сколько квадратов площадью 4 см2можно вырезать из этого прямоугольника?2.На доске через проектор выводят следующий рисунокРис.4Внутри прямоугольника АВСD вырезали отверстие прямоугольной формы. Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями.Один ученик у доски,остальные работают с места.Личностные: смыслообразование, умение доводить работу до конца.Регулятивные: самоорганизация.Коммуникативные: навыки сотрудничества с учителем и сверстниками.Познавательные:навыки исследовательской деятельности.6.Содержательная часть.
Содержит программный материал учебного курса и обеспечивает формирование системного мышления и развития творческих способностей.Тяжело нам было считать площадь при помощи квадрата?Если нам надо посчитать площадь стадиона, пойдемте, попробуем?Тогда давайте вернемся к задаче с доской. Если одна сторона доски 2 м, а другая сторона 1м, доска прямоугольной формы, то ее можно разделить на 2×1 единичных квадратов. Поэтому чему равна площадь доски?Если a и b –соседние стороны прямоугольника выраженные в одних и тех же единицах. Как найти площадь такого прямоугольника?
Проблема.–Как найти площадь правильного четырехугольника, у которого все стороны и углы равны?
Вводятся новые единицы измерения площади: ар (сотка), гектар.1 а =10 м *10 м = 100 м2
1га = 100 м* 100 м = 10000 м2
Для каких измерений нужны такие большие единицы площади?
S= a bФормулу записываем в тетради. Ученикиобсуждают проблему в группах, ранее сформированных в психологической разминке, единственная одна группа становятся экспертами (прослушав выдвинутые версии,они занимаются их обработкой и предлагают одну на их взгляд верную). Происходит обсуждение решения проблемы.Затем в тетрадях записываем полученную формулу площади квадратаS= a 2
–Для измерения площади земельных участков, деревень, стадионов и т.д..Личностные: самоопределение.Регулятивные: развитие регуляции учебной деятельности.Коммуникативные: умение работать в коллективе, слышать и уважать мнение других, умение отстаивать свою позицию.Познавательные:навыки исследовательской деятельности.Развитие творческого мышления.
7.Компьютерная интеллектуальная разминка.Обеспечить мотивацию и развитие мышления.Установление правильности и осознанности изучения темы.
Тест на компьютере.Учитель контролирует количество ошибок.рис.5(рисунок находится под таблицей)
Учащиеся работают на компьютере в парах, проходят тест.Личностные:самоопределение.Регулятивные: развитие регуляции учебной деятельности.Коммуникативные:умение работать в паре, слышать и уважать мнение других, умение отстаивать свою позицию.Познавательные:поиск решения проблемы.8. Резюме.Домашнее задание.Подведение итогов урока.Обеспечить обратную связь на уроке.Учитель предлагает похлопать в ладошитем,кому урок понравился и потопать, если они считают данный урок скучным.–Что нового вы узнали на уроке?
Домашнее задание.Дан квадрат со стороной 8 см. Найдите его площадь. Используя разноцветные кусочки, объясните, а затем опровергните мою гипотезу: 8*8=65Рис.6Учащиеся оценивают урок, свои действия на уроке, действия сверстников.
–Формулу площади прямоугольника, квадрата, единицы измерения площади.Дома учащиеся проводят опыт с частями квадрата.Контрольное решение.Sкв=8*8=64 см2Составим из кусочков прямоугольник.Рис.7Sпр=(8+5)*5=65 см2
Такие расчеты получаются, потому что между деталями при сборкепрямоугольника образуется щель.Личностные: саморазвитие морального сознания и ориентировки учащихся в сференравственноэтических отношений.Регулятивные: развитие регуляции учебной деятельности.Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.Познавательные: рефлексия.
Ссылки на источники1.Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. Федеральный закон РФ от 17 декабря 2010г. № 1897ФЗ.2.М.М.Зиновкина. НФТМТРИЗ:креативное образование ХХI века. Москва,2007. –313с.
Страница 6 из 8
Глава пятая.
ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ФИГУР. РАЗДЕЛ I
В этой и следующей главах мы проследим за ходом развития многих замечательных геометрических парадоксов. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои первоначальные места, исчезнувшая часть площади или рисунок таинственным образом возникают вновь.
Геометрический характер этих любопытных исчезновений и появлений оправдывает причисление этих парадоксов к разряду математических головоломок.
Парадокс с линиями
Все многочисленные парадоксы, которые мы здесь собираемся рассматривать, основаны на одном и том же принципе, который мы назовем «принципом скрытого перераспределения». Вот один очень старый и совсем элементарный парадокс, который сразу объясняет суть этого принципа.
Начертим на прямоугольном листе бумаги десять вертикальных линий одинаковой длины и проведем пунктиром диагональ, как показано на рис. 50.
Посмотрим на отрезки этих линий над диагональю и под ней; нетрудно заметить, что длина первых уменьшается, а вторых соответственно увеличивается.
Разрежем прямоугольник по пунктирной линии и сдвинем нижнюю часть влево вниз, как это показано на рис. 51.
Сосчитав число вертикальных линий, вы обнаружите, что теперь их стало девять. Какая линия исчезла и куда? Передвиньте левую часть в прежнее положение, и исчезнувшая линия появится снова.
Но какая линия стала на свое место и откуда она взялась?
Сначала эти вопросы кажутся загадочными, но после небольшого размышления становится ясным, что никакая отдельная линия при этом не исчезает и не появляется. Происходит же следующее: восемь этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.
Возможно, суть парадокса выступит еще более явственно, если его иллюстрировать на камешках.
Возьмем пять кучек камешков по четыре камешка в кучке. Переместим один камешек из второй кучки в первую, два камешка из третьей во вторую, три из четвертой в третью и, наконец, все четыре камешка из пятой в четвертую. Рис. 52 поясняет наши действия.
После такой передвижки оказывается, что кучек стало только четыре. Невозможно ответить на вопрос, какая кучка исчезла, так как камешки были перераспределены так, что в каждой из четырех кучек прибавилось по камешку. В точности то же происходит и в парадоксе с линиями. Когда части листа сдвигаются по диагонали, отрезки разрезанных линий перераспределяются и каждая получающаяся при этом линия становится немного длиннее первоначальной.
Исчезновение лица
Перейдем к описанию способов, при помощи которых парадокс с линиями можно сделать более интересным и занимательным. Этого можно, например, достигнуть, заменив исчезновение и появление линий таким же исчезновением и появлением плоских фигур. Здесь особенно подойдут изображения карандашей, папирос, кирпичей, шляп с высокой тульей, стаканов с водой и других вертикально протяженных предметов, характер изображения которых до и после сдвига остается одинаковым. При некоторой художественной изобретательности можно брать и более сложные предметы. Посмотрите, например, на исчезающее лицо на рис. 53.
При сдвиге нижней полосы на верхней части рисунка влево все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью исчезает! (см. нижнюю часть рисунка). Бессмысленно спрашивать, какое именно лицо, так как при сдвиге четыре лица разделяются на две части. Эти части затем перераспределяются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое - более вытянутый подбородок и т. д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии.
«Исчезающий воин»
В этой головоломке парадоксу с линиями придана круговая форма и прямолинейные отрезки заменены фигурами 13 воинов (рис. 54).
Большая стрела указывает при этом на северо-восток С. В. Если же рисунок разрезать по окружности, а затем внутреннюю часть начать поворачивать против часовой стрелки, то фигуры сначала разделятся на части, затем соединятся вновь, но уже по-иному, и когда большая стрела укажет на северо-запад С.З., на рисунке будет 12 воинов (рис. 55).
При вращении круга в обратном направлении до положения, когда большая стрела встанет опять на СВ., исчезнувший воин появится снова.
Если рис. 54 рассмотреть повнимательнее, то можно заметить, что два воина в левой нижней части рисунка расположены по-особенному: они находятся друг против друга, тогда как все остальные размещены цепочкой. Эти две фигуры соответствуют крайним линиям в парадоксе с отрезками. Исходя из требований рисунка, у каждой из этих фигур должна отсутствовать часть ноги, и чтобы в повернутом положении колеса этот недостаток был менее заметен, лучше было изобразить их рядом.
Отметим еще, что воины изображены на рисунке с гораздо большей изобретательностью, чем это может показаться с первого взгляда. Так, например, чтобы фигуры оставались в вертикальном положении во всех местах глобуса, нужно в одном случае иметь вместо левой ноги правую, а в другом, наоборот, вместо правой ноги левую.
Пропавший кролик
Парадокс вертикальных линий можно, очевидно, показывать и на более сложных объектах, например человеческих лицах, фигурах животных и т. д. На рис. 56 показан один вариант.
Когда после разрезании по толстой линии меняют местами прямоугольники А а В, один кролик исчезает, оставляя вместо себя пасхальное яйцо. Если вместо перестановки прямоугольников А и В разрезать правую половину рисунка по пунктирной линии и поменять местами правые части, число кроликов увеличится до 12, однако при этом один кролик теряет уши и появляются другие смешные детали.
Глава шестая.
ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ФИГУР. РАЗДЕЛ I I
Парадокс шахматной доски
В близкой связи с парадоксами, рассмотренными в предыдущей главе, находится другой класс парадоксов, в котором «принципом скрытого перераспределения» объясняется таинственное исчезновение или появление площадей. Один из самых старых и самых простых примеров парадоксов этого рода приведен на рис. 57.
Шахматная доска разрезается наискось, как это изображено на левой половине рисунка, а затем часть В сдвигается влево вниз, как это показано на правой половине рисунка. Если треугольник, выступающий в правом верхнем углу, отрезать ножницами и поместить на свободное место, имеющее вид треугольника в левом нижнем углу рисунка, то получится прямоугольник в 7x9 квадратных единиц.
Первоначальная площадь равнялась 64 квадратным единицам, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая квадратная единица?
Ответ состоит в том, что наша диагональная линия проходит несколько ниже левого нижнего угла клетки, находящейся в правом верхнем углу доски.
Благодаря этому отрезанный треугольник имеет высоту, равную не 1, а 1 1/7. И, таким образом, высота равна не 9, а 9 1/7 единицам. Увеличение высоты на 1/7 единицы почти незаметно, но, будучи принято в расчет, оно приводит к требуемой площади прямоугольника в 64 квадратные единицы.
Парадокс становится еще более поразительным, если вместо шахматной доски взять просто квадратный лист бумаги без клеток, так как в нашем случае при внимательном изучении обнаруживается неаккуратное смыкание клеток вдоль линии разреза.
Связь нашего парадокса с парадоксом вертикальных линий, рассмотренным в предыдущей главе, становится ясной, если проследить за клетками у линии разреза. При продвижении вдоль линии разреза вверх обнаруживается, что над линией части разрезанных клеток (на рисунке они затемнены) постепенно уменьшаются, а под линией постепенно увеличиваются. На шахматной доске было пятнадцать затемненных клеток, а на прямоугольнике, получившемся после перестановки частей, их стало только четырнадцать. Кажущееся исчезновение одной затемненной клетки есть просто другая форма рассмотренного выше парадокса. Когда мы отрезаем и затем перемешаем маленький треугольничек, мы фактически разрезаем часть А шахматной доски на два куска, которые затем меняются местами вдоль диагонали.
Для головоломки важны только клетки, прилежащие к линии разреза, остальные же никакого значения не имеют, играя роль оформления. Однако присутствие их меняет характер парадокса. Вместо исчезновения одной из нескольких маленьких клеток (или несколько более сложной фигуры, скажем, игральной карты, человеческого лица и т. п., которую можно было начертить внутри каждой клетки) мы сталкиваемся здесь с изменением площади большой геометрической фигуры.
Парадокс с площадью
Вот еще один парадокс с площадью. Меняя положение частей А и С, как показано на рис. 58, можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадратных единиц в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 квадратные единицы, получая, таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы. Как и в предыдущем парадоксе, здесь играют роль только клетки, примыкающие к линии разреза. Остальные нужны лишь как оформление.
В этом парадоксе существуют два существенно различных способа разрезывания фигуры на части.
Можно начать с большого прямоугольника размером 3x10 единиц (верхняя часть рис. 58), аккуратно проводя в нем диагональ, тогда два меньших прямоугольника (нижняя часть рис. 58) будут на 1/5 единицы короче своих кажущихся размеров.
Но можно также начать с фигуры, составленной из двух аккуратно начерченных меньших прямоугольников размером 2x6 и 4x5 единиц; тогда отрезки, соединяющие точку X с точкой У и точку У с точкой Z, не будут составлять прямую линию. И только потому, что образуемый ими тупой угол с вершиной в точке У весьма близок к развернутому, ломаная ХУZ кажется прямой линией. Поэтому фигура, составленная из частей малых прямоугольников, не будет в действительности прямоугольником, так как эти части будут слегка перекрываться вдоль диагонали. Парадокс с шахматной доской, так же как и большая часть других парадоксов, которые мы собираемся рассмотреть в этой главе, тоже могут быть представлены в двух вариантах. В одном из них парадокс получается за счет незначительного уменьшения или увеличения высоты (или ширины) фигур, в другом - за счет прироста или потери площади вдоль диагонали, вызываемых либо перекрыванием фигур, как в только что рассмотренном случае, либо появлением пустых мест, с чем мы вскоре встретимся.
Меняя размеры фигур и наклон диагонали, этому парадоксу можно придать самое различное оформление. Можно добиться потери или прироста площади в 1 квадратную единицу или в 2, 3, 4, 5 единиц и т. д.
Вариант с квадратом
В одном изящном варианте исходные прямоугольники размером 3x8 и 5x8 единиц, будучи приставлены друг к другу, образуют обычную шахматную доску в 8х8 клеток. Эти прямоугольники разрезаются на части, которые после перераспределения образуют новый большой прямоугольник с кажущимся приростом площади в одну квадратную единицу (рис. 59).
Суть парадокса состоит в следующем. При аккуратном построении чертежа квадрата строгой диагонали большого прямоугольника не получается. Вместо нее появляется ромбовидная фигура, настолько вытянутая что стороны ее кажутся почти слившимися. С другой стороны, при аккуратном проведении диагонали большого прямоугольник; высота верхнего из двух прямоугольников, составляющих квадрат, будет чуть больше, чем это должно быть, а нижний прямоугольник - чуть шире. Заметим, что неаккуратное смыкание частей фигуры при втором способе разрезывания больше бросается в глаза, чем неточности вдоль диагонали в первом; поэтому первый способ предпочтительнее. Как и в ранее встречавшихся примерах, внутри клеток, рассеченных диагональю, можно рисовать кружочки, физиономии или какие-нибудь фигурки; при перестановке составных частей прямоугольников этих фигурок будет становиться одной больше или меньше.
Числа Фибоначчи
Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 59 и 60), являются членами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Расположение частей, иа которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу.
Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее единицы, а затем разрезать его в соответствии с двумя предшествующими числами этого ряда.
Если, например, взять квадрат в 13x13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки длиной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 60. Площадь этого квадрата равна 169 квадратным единицам. Стороны прямоугольника, образованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря перекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.
Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произойдет потеря одной квадратной единицы. Можно сформулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (3, 8…) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали просвет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (2, 5, 13…), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади.
Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3x1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.
Используя для парадокса другие ряды Фибоначчи, можно получить бесчисленное множество вариантов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т. д., приводят к потерям или приростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3, 4, 7, 11, 18, 29 и т. д. дает прирост или потерю в пять квадратных единиц. Т. де Мулидар привел рисунок квадрата, основанного на ряде 1, 4, 5, 9, 14 и т. д. Сторона этого квадрата взята равной 9, и после преобразования его в прямоугольник теряется 11 квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19… также дает потерю или прирост в 11 квадратных единиц. В обоих случаях перекрывания (или просветы) вдоль диагонали оказываются настолько большими, что их сразу можно заметить.
Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X - потерю или прирост площади, мы получим следующие две формулы:
А + В = С
В 2 = АС ± Х
Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональных чисел это, конечно, можно достигнуть. Так, ряд Фибоначчи 2 1/2 , 2·2 1/2 , 3·2 1/2 , 5·2 1/2 дает прирост или потерю в две квадратные единицы, а ряд 3 1/2 , 2·3 1/2 , 3·3 1/2 , 5·3 1/2 приводит к приросту или потере в три квадратные единицы.
Вариант с прямоугольником
Существует много способов, которыми прямоугольник можно разрезать на небольшое число частей, а затем сложить их в виде другого прямоугольника большей или меньшей площади. На рис. 61 изображен парадокс, также основанный на ряде Фибоначчи.
Подобно только что рассмотренному случаю с квадратом, выбор какого-нибудь числа Фибоначчи из «второй» подпоследовательности в качестве ширины первого прямоугольника (в рассматриваемом случае 13) приводит к увеличению площади второго прямоугольника на одну квадратную единицу.
Если же за ширину первого прямоугольника принять какое-нибудь число Фибоначчи из «дополнительной» подпоследовательности, то во втором прямоугольнике площадь уменьшится на одну единицу. Потери и приросты площади объясняются небольшими перекрываниями или просветами вдоль диагонального разреза второго прямоугольника. Другой вариант такого прямоугольника, показанный на рис. 62, при построении второго прямоугольника приводит к увеличению площади на две квадратные единицы.
Если заштрихованную часть площяди второго прямоугольника поместить над незаштрихованной частью, два диагональных разреза сольются в одну большую диагональ. Переставляя теперь части А и В (как на рис. 61), мы получим второй прямоугольник большей площади.
Еще один вариант парадокса
При суммировании площадей частей перестановка треугольников В и С в верхней части рис. 63 приводит к кажущейся потере одной квадратной единицы.
Как читатель заметит, это происходит за счет площадей заштрихованных частей: на верхней части рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней - 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, который можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис. 64).
Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало отклоняться от диагонали, что это будет почти незаметно.
После перестановки треугольников В и С на нижней половине рисунка части фигуры будут слегка перекрываться вдоль диагонали.
С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ, то линия XW будет чуть длиннее трех единиц. И как следствие этого второй прямоугольник будет несколько выше, чем кажется. В первом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине прямоугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов построения. В обоих случаях неточности фигур настолько незначительны, что они оказываются совершенно незаметными.
Наиболее изящной формой этого парадокса являются квадраты, которые после перераспределения частей и образования отверстия остаются квадратами.
Такие квадраты известны в бесчисленных вариантах и с отверстиями в любое число квадратных единиц. Некоторые, наиболее интересные из них изображены на рис. 65 и 66.
Можно указать на простую формулу, связывающую размер отверстия с пропорциями большого треугольника. Три размера, о которых пойдет речь, мы обозначим через А, В к С (рис. 67).
Площадь отверстия в квадратных единицах равна разности между произведением А на С и ближайшим к нему кратным размера В. Так, в последнем примере произведение А и С равно 25. Ближайшее кратное размера В к 25 есть 24, поэтому отверстие получается в одну квадратную единицу. Это правило действует независимо от того, проведена ли настоящая диагональ или же точка X на рис. 67 нанесена аккуратно на пересечении линий квадратной сетки.
Если диагональ, как это и должно быть, вычерчивается как строго прямая линия или если точка X берется точно в одной из вершин квадратной сетки, то никакого парадокса не получается. В этих случаях формула дает отверстие размером в нуль квадратных единиц, обозначая этим, конечно, что отверстия нет вообще.
Вариант с треугольником
Вернемся к первому примеру парадокса (см. рис. 64). Заметим, что большой треугольник А не меняет своего положения, в то время как остальные части перемещаются. Поскольку этот треугольник не играет существенной роли в парадоксе, его можно вообще отбросить, оставляя только правый треугольник, разрезанный на четыре части. Эти части можно затем перераспределить, получая при этом прямоугольный треугольник с отверстием (рис. 68), будто бы равный исходному.
Составляя два таких прямоугольных треугольника катетами, можно построить много вариантов равнобедренных треугольников, подобных изображенному на рис. 69.
Так же как и в ранее рассмотренных парадоксах, эти треугольники можно строить двумя способами: либо проводить их боковые стороны строго прямолинейно, тогда точка X не попадет на пересечение линий квадратной сетки, либо помещать точку X точно в пересечение, тогда боковые стороны будут слегка выпуклыми или вогнутыми. Последний способ, кажется, лучше маскирует неточности чертежа. Парадокс покажется еще более удивительным, если на частях, составляющих треугольник, нанести линии квадратной сетки, подчеркивая этим самым, что части изготовлялись с необходимой аккуратностью.
Придавая нашим равнобедренным треугольникам различные размеры, можно добиться прироста или потери любого четного числа квадратных единиц.
Несколько типичных примеров дано на рис. 70, 71 и 72.
Составляя основаниями два равнобедренных треугольника любого из этих типов, можно построить самые различные варианты ромбического вида; однако они не добавят ничего существенно нового к нашему парадоксу.
Квадраты из Четырех частей
Все рассмотренные нами до сих пор виды парадоксов с изменением площади близко связаны между собой по способу построения. Однако существуют парадоксы, полученные и совершенно отличными методами. Можно, например, разрезать квадрат на четыре части одинаковой формы и размера (рис. 73), а затем составить их по-новому так, как показано на рис. 74. При этом получается квадрат, размеры которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине.
Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым соотношением длин сторон. Любопытно, что точка А, в которой пересекаются две которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине.
Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым соотношением длин сторон. Любопытно, что точка А, в которой пересекаются две взаимно перпендикулярные линии разреза, может при этом находиться в любом месте внутри прямоугольника. В каждом случае при перераспределении частей появляется отверстие, причем размер его зависит от величины угла, образованного линиями разреза со сторонами прямоугольника.
Этот парадокс отличается сравнительной простотой, однако он много теряет благодаря тому, что даже при поверхностном изучении видно, что стороны второго прямоугольника должны быть немного больше, чем стороны первого.
Более сложный способ разрезания квадрата на четыре части, при котором получается внутреннее отверстие, изображен на рис. 75.
Он основан на парадоксе с шахматной доской, которым открывается настоящая глава. Заметим, что при перераспределении частей две из них нужно перевернуть обратной стороной кверху. Заметим также, что при отбрасывании части А мы получаем прямоугольный треугольник, составленный из трех частей, внутри которого можно образовать отверстие.
Квадраты из трех частей
Существует ли способ разрезывания квадрата на три части, которые можно составить по-новому так, чтобы получился квадрат с отверстием внутри? Ответ будет положительным. Одно изящное решение основано на применении парадокса, рассмотренного в предыдущей главе.
Вместо того чтобы специальным образом располагать картинки уступами, а разрез производить прямолинейно (горизонтально), картинки размещают на одной прямой, а разрез делают уступами. Результат получается поразительный: не только пропадает картинка, но на месте ее исчезновения появляется отверстие.
Квадраты из двух частей
Можно ли сделать то же самое при двух частях?
Я не думаю, что в этом случае можно каким-нибудь методом получить внутреннее отверстие в квадрате за счет незаметного увеличения его высоты или ширины. Однако было показано, что парадокс с отверстием в квадрате, разрезаемом на две части, можно построить на принципе, который применяется в парадоксе с исчезающим воином. В этом случае вместо размещения фигурок по спирали или ступенькой их размещают строго по окружности, тогда как разрез делают спиральным или ступенчатым; в последнем случае он имеет вид зубчатого колеса с зубцами различных размеров. При вращении этого колеса одна фигурка исчезает и вместо нее появляется отверстие.
Неподвижная и вращающиеся части аккуратно пригнаны друг к другу только в положении, когда появляется отверстие. В исходном же положении видны небольшие просветы у каждого зубца, если разрез был ступенчатым, или один непрерывный круговой просвет при разрезе, идущем по спирали.
Если исходный прямоугольник не является квадратом, его можно разрезать на две части, а затем получить внутри отверстие при совсем мало заметном изменении его внешних размеров. На рис. 76 показан один вариант.
Обе части при этом тождественны как по форме, так и по размерам. Проще всего демонстрировать этот парадокс следующим образом: вырезать части из картона, сложить их в виде прямоугольника без отверстия, положить на лист бумаги и обвести карандашом по периметру. Складывая теперь части по-иному, можно видеть, что они по-прежнему не выходят за проведенную линию, хотя посредине прямоугольника образовалось отверстие.
К нашим двум частям можно, конечно, добавить третью, изготовленную в виде полосы, которая, будучи приложена к одной из сторон прямоугольника, превращает его в квадрат; таким образом мы получаем еще один способ разрезания квадрата на три части, дающий внутреннее отверстие.
Криволинейные и трехмерные варианты
Приведенные нами примеры ясно показывают, что область парадоксов с изменением площади еще только начинает разрабатываться. Существуют ли какие-нибудь криволинейные фигуры, например круги или эллипсы, которые можно разрезать на части, а затем составить по-иному так, чтобы при этом без заметного искажения фигуры получались внутренние отверстия?
Существуют ли трехмерные фигуры, специфичные именно для трех измерений, т. е. не являющиеся тривиальным следствием двумерных фигур? Ведь ясно, что к любой плоской фигуре, с которой мы встречались в этой главе, можно «добавить измерение», вырезая ее попросту из достаточно толстого картона, высота которого равна «длине третьего измерения» ).
Можно ли куб или, скажем, пирамиду разрезать не очень сложным способом на части так, чтобы, составляя их по-новому, получить заметные пустоты внутри?
Ответ будет таков: если не ограничивать число частей, то такие пространственные фигуры указать совсем нетрудно. Достаточно ясно это в случае куба.
Здесь внутренняя пустота может быть получена, однако вопрос о наименьшем числе частей, с которыми этого можно достигнуть, более сложен. Его заведомо можно изготовить из шести частей; не исключено, что этого можно добиться и с меньшим числом.
Такой куб можно эффектно демонстрировать следующим образом: вынуть его из ящичка, сделанного точно по кубу, разобрать на части, обнаружив при этом внутри шарик, снова сложить части в сплошной куб и показать, что он (без шарика) по-прежнему плотно заполняет ящик. Мы выскажем предположение, что должно существовать много таких фигур, как плоских, так и пространственных, к тому же отличающихся простотой и изяществом формы. Будущие исследователи этой любопытной области будут иметь удовольствие открыть их.